【精品】根轨迹分析法

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1、第四章根轨迹分析法一、主要内容（1）根轨迹法的基本概念（2）绘制180°根轨迹的基木法则（3）绘制0°根轨迹的基木法则（4）参变量系统的根轨迹（5）非最小相位系统的根轨迹（6）控制系统的根轨迹分析二、基本要求（1）理解根轨迹法、根轨迹、根轨迹方程、180°根轨迹和0。根轨迹等概念。（2）掌握180°根轨迹的绘制方法，理解和熟记根轨迹的绘制法则，会用幅值方程求对应的心（或K）值。（3）了解闭环零、极点分布和系统阶跃响应的定性关系，掌握系统根轨迹分析的基本思路。（4）掌握0°根轨迹、参变量系统根轨迹和非最小和位系统根轨迹绘制的方法。三、内容提要1、根轨迹法的基本概念（1）根轨迹：当系统开环传递函数

2、屮某参数（如根轨迹増益KQ在某一范围内（如Otoo）连续变化时，闭环特征根在S平面上移动的轨迹，称为根轨迹。（2）根轨迹方程G（s）H（s）=±l加幅值方程：Kg=1ns~pjj=lI,、“4亡，、丿（2比+1）兀180。根轨迹相角方程:斗（I）玄（U）2眩0。根轨迹。■/=,丿T.相角方程是根轨迹的充分必要条件，而幅值方程的作用主耍用来确定对应点的增liilo2、绘制180°根轨迹的基本法则法则1：根轨迹的起点和终点根轨迹起始于系统的开环极点(包括重极点)，加条根轨迹终止于开环零点，n-m条根轨迹分支终止于无穷远处。法则2：根轨迹的连续性和分支数根轨迹具有连续性，月.对称于实轴。法则3

3、：根轨迹的分支数根轨迹的分支数等于几，即系统的阶数。法则4：根轨迹的渐近线有n-m条渐近线，渐近线与实轴正方向的夹角为：(2上+7八11/(s)=£)($)+KN(s)=0D(s)满足以下任何一个方程，且保证K为正实数的解，

4、即是根轨迹的分离(会合)点。力(s)二d[D($)+KN(Q]二0dsdsdKds£如dsN(s)=0法则7：根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点，实质上就是闭环系统的临界稳定工作点。方法1：在闭环特征方程Db（s）=0中，令s=沟，得到D〃（M）=O,将Db（M）分为实部和虚部,即Re[Q〃（加）]+jIm[D/?（»]=O于是有严求解得到。值，即为根轨迹与虚轴的交点坐标频率。[lm[Q（je）]=O方法2：由劳斯稳定判据，令劳斯表屮出现全零行，但第一列元素符号保持不变，此时系统处于临界稳定状态，并可求得根轨迹与虚轴的交点。法则8：根轨迹的出射角和入射角当开环零点和开环极点处于复平面时，根轨

5、迹离开开环极点处的切线与正实轴的方向夹角，称为根轨迹的出射角（出发角）。同样，根轨迹进入开环零点处的切线与正实轴的方向夹角，称为根轨迹的入射角（终止角）。复数极点的出射角用公式表示为Opx=（2E+1）兀+工-乙）一工Z（z-Pj）i=j=lE由几与几+】的共轨性，&z=~3Px同理可得，复数零点的入射角用公式表示为0汝=（2上+1）”一工/（乙_召）+工Z（°-P,Z=1j=i^x由5与J+i的共轨性，9+=一“亠。3、绘制0°根轨迹的基本法则0°根轨迹作图法则与180°根轨迹作图法则所不同的是，要修改与相角条件有关的规则，具体有：（1）根轨迹的渐近线渐近线的交点坐标不变，与正实轴的夹角

6、改为2k7T,c,r电（pa=,k=0丄2,•••,/?-/n-1n-m（2）实轴上的根轨迹分布实轴上某区域，若其右边的开环零点和开环极点个数z和为偶数（包括0）,m区域必是根轨迹。（3）根轨迹的出射角和入射角出射角:opx=£z（Px-Zj）©厂pj/=1;=1入射角：化丫=一工4「召）+工4°一匕）/=!；=1i^x4、参变量系统的根轨迹参量根轨迹的处理方法是，将原来的开环传递函数经过数学变换成以参变量作为“根轨迹增益”的等效开环传递函数形式，然后依上述的作图规则绘制根轨迹图。5、根轨迹分析法（1）闭环零点、极点和开环根轨迹增益的确定①闭环零点闭环传递函数零点实际上是前向通道的零点和反馈通

7、道的极点组成，当为单位反馈时，闭环零点就是开环零点。②闭环极点对于比较简单的系统可先使用幅值方程进行试探确定部分闭环实数极点，然后用综合长除法求其余的闭环极点，或采用闭环极点的和与积的性质来确定其余的闭环极点。③根轨迹增益若已知系统的闭环零点和闭环极点，则可利用幅值方程來确定对应的根轨迹增益心。求闭环根轨迹上某一点耳对应的根轨迹增益K”则由幅值方程得到:n（®-乙）口⑶-匕）匕"7=n（»-匕）r