微分方程模型(人口模型

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1、5.3.1人口增长模型微分方程模型实例1——人口模型5.3.1.1马尔萨斯(Malthus)模型Malthus(1766-1834),英国的经济学家和人口统计学家，根据百余年的统计资料，在1798年提出了闻名于世的人口指数增长模型，即Malthus人口模型.人口以几何级数增加！考虑一个国家或地区的人口总数随时间变化的情况，记x(t)为t时刻该国家或地区的人口总数，对一个国家而言，迁入和迁出人数相对很小，故略去迁移对人口变化的影响，即人口变化仅与出生率和死亡率有关。模型假设假设人口的出生率与死亡率之差与总人口成正比(即单位时间内人口增量与人

2、口总数成正比)，记为B-D=rx(t).比例常数r称为自然增长率，它可以通过人口统计数据得到(即为常数).模型建立微分方程模型实例1——人口模型模型分析人口将按指数规律无限增长！人口将始终保持不变！人口将按指数规律减少直至绝灭！模型求解用马尔萨斯(Malthus)模型估计我国人口的变化情况。为了方便对比，取1982年人口普查时得到的人口总数为初始值，即x0=10.1541亿，自然增长率r=1.4%，t0=1982，用公式估计后各年我国总人口的变化，其结果如后表从表可以看到，在1983年到1990年的8年中，用马尔萨斯(Malthus)模型

3、的相对误差均在2％以下，这表明此模型比较准确的预测了短期内人口变化的规律。微分方程模型实例1——人口模型Malthus模型预测美国人口微分方程模型实例1——人口模型Malthus模型预测美国人口误差分析微分方程模型实例1——人口模型Malthus模型预测的优缺点优点：短期预报比较准确缺点：不适合中长期预报原因：该模型中的关键假设是自然增长率仅与人口出生率和死亡率有关，且是常数。这一假设使模型简单实用，但这一假设也导致了人口无限制的增长，显然用该模型来作长期人口预测是不合理的，需要改进。没有考虑环境对人口增长的制约作用。微分方程模型实例1—

4、—人口模型5.3.1.2洛杰斯蒂克(Logistic)模型提出背景人们发现在人口比较稀少，资源较丰富的条件下，人口增长较快，可以在短期内维持常数增长率；但当人口数量发展到一定水平后，会产生许多问题，如食物短缺，交通拥挤等，这又导致人口增长率的减少，这种现象在某些动物种群的实验中也观察到。在1837年，荷兰生物数学家Verhulst引入常数K，表示人类生存空间及可利用资源(食物、水、空气)等环境因素所能容纳的最大人口数量(也称为饱和系数或环境容纳量)。微分方程模型实例1——人口模型5.3.1.2洛杰斯蒂克(Logistic)模型模型假设模型

5、建立人口增长的洛杰斯蒂克(Logistic)模型：微分方程模型实例1——人口模型模型分析模型求解微分方程模型实例1——人口模型人口增长率达到最大值微分方程模型实例1——人口模型Logistic模型预测美国人口微分方程模型实例1——人口模型Logistic模型预测的优缺点优点其用途十分广泛，除了用于预测人口增长之外，也可完全类似地用于虫口增长、疾病的传播、谣言的传播、技术革新的推广、销售预测等。中期预报比较准确。缺点理论上很好，实用性不强原因预报时假设固有人口增长率r以及最大人口容量K为定值。实际上这两个参数（特别是K）很难确定，而且会随着

6、社会发展情况变化而变化。前面图中曲线末端分叉就是由于这个原因。微分方程模型实例1——人口模型Logistic模型预测美国人口误差分析微分方程模型实例1——人口模型中国人口预测结果年份马尔萨斯模型预测值/亿洛杰斯蒂模型预测值/亿实际统计值预测值/亿198210.154110.154110.1541198310.297210.256410.2495198410.442410.359410.3475198510.589610.463110.4532198610.738910.567310.5721198710.890310.672110.724

7、0198811.043910.777510.8978198911.119610.883511.0676199011.357510.990111.3368200013.064212.0871201015.027413.2357202017.285614.4276203019.883215.6529204022.871116.9009205026.308118.1595微分方程模型实例1——人口模型补充：从另一个角度导出Logistic模型微分方程模型实例1——人口模型模型分析模型求解**参数a和b可以通过已知数据利用Matlab中的非线性回

8、归命令nlinfit求得。微分方程模型实例1——人口模型