中等数学2013.02

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1、2中等数学因式分解在初中数学竞赛中的应用王盛裕(浙汀省宁波市惠贞书院．315016)中圈分类号：0122．1文献标识码：A文章编号：1005—6416(2013)02—0002—04(本讲适合初中)1lll++’因式分解是初中数学的基础，在代数式的恒等变形、化简、求值、证明以及解方程则存在整数Ij}，使下列等式成立的有个．(组)、不等式、整数问题甚至某些几何问题一中都有着广泛的应用．本文通过具体实例分①(++=南++；类介绍．++=1求恒等式中的待定系数南；例1当n为任意实数、为某一特定整③(+1+÷)zk=1+1+刍；数时，等式④+1+1=／2(／2+1)(／2+2)(／2+3)+1=(

2、／2++1)成立．则=．⋯(2010，全国高中数学联赛新疆维吾尔(2010，太原市初中数学竞赛)自治区预赛)【分析】因为题设等式左边是多项式，右【分析】本题的条件等式是一个分式等边是乘积的形式，所以，只需将左边分解因式，比较复杂．如何让字母a、b、C的关系更加式．而因式分解选用的方法是运用整体思想简洁明了，是解决本题的关键．先将条件等式和完全平方公式来处理．去分母整理成f(0，b，c)：0的形式，再将解注意到，-厂(n，b，c)因式分解即可．对于字母个数较多n(n+1)(n+2)(／27,+3)+1的多项式因式分解问题，通常采用选择主元=(／2+3凡)(n+3n+2)+1的方法，按照主元a

3、降幂排列，一般可顺利找=(／2+3／2)+2(n+3n)+1到因式分解的方法．=(n+3n+1)．解由题设知所以，=3．(b+c)a+(6+c)a+bc(b+C)=0(b+c)(c+0)(a+b)：02确定恒等式成立的个数b+c=0或c+a=0或n+b=0例2已知a、b、c∈R，且。、b、C中至少有两个数互为相反数．收稿日期：2012—09—03修回I：t期：2012—11—15不妨设a+b=0．2013年第2期3则(+1+，【1、J—21+l=-6(-2)(Y-2)(z-2)(+1)(Y+1)(：+1)C(一2)(Y一2)(z一2)·故式①成立．[1+6(+1)(Y+1)(+1)]=O同

4、理，式②也成立，而式③、④不成立(一2)(Y一2)(一2)=0．从而，等式成立的个数为2．不失一般性，令一2=0．3求代数式的值依次代人已知等式知Y=。=2．故20o8(一1)+2009(Y一1)+2010(一2)例3已知=4017．口(b+c)=b(口+c)=2010，且口≠6．【评注】对于一元的高次多项式分解问贝0c(口+b)=．[题，通常采用综合除法或试根的方法进行尝(2010，我爱数学初中生夏令营数学竞试，发现一2、Y一2、z一2的因式是根据已知赛)条件和所求代数式的整体结构的分析后得到【分析】给出的条件等式与求值代数式的正确判断，是解题经验的积累和试验的结构一致，根据已知条件等式

5、又无法确定口、结果．b、c的值，只能猜想口、b、c之间有一种内在的联系，通过作差构造新的多项式，分解因式后4解方程(组)找到它们之间的关系——是等值的，从而解例5求方程决了未知多项式的求值．解注意到，一+1=(++1)(+2x+4)的所有实根．_4J口(b+c)一b(a+c)=(口一b)(口6+6c+ca)=0．(2011，青少年数学国际城市邀请赛)又口≠b，贝0口6+6c+ca=0．【分析】解高次方程最基本的方法是转故c(0+b)一b(口+c)化为低次方程求解，即化为一元一次方程或一=(c—b)(06+6c+ca)=0．元二次方程来处理．而因式分解是实现这因此，c(口+b)=b(口+C)

6、=2010．种转化最有力的工具．高次多项式分解的方例4设实数、Y、同时满足法首选试根法(综合除法)．此题将方程整理f。y3+4，成)=0后发现，其各项系数均为正，如有22y+z=6y+6，有理数根必为负根，最高项系数为l，常数项【33+=9+8．为3，若有有理数根只能是一1或一3．试求2008(一1)+2009(Y一1)+解原方程可化为2010(一2)的值．[4+3。+6x2+7+3=0．(首届青少年数学周(宗沪杯)数学竞易知，=一1是方程的一个解．赛)故+3x+6x+7x+3解由题意知=(+1)(’+2+4+3)rY-2=一+3x+2=一(一2)(+1)，=(+1)(++3)=0．{一2

7、=一Z广++4=一2(y一2)(Y+1)，【一2一3z3+9z+6=一3(z一2)(+1)．注意到++3=(+)2+>0．以上三式相乘得所以，方程有唯一的实根一1．(一2)(Y一2)(z一2)例6求方程组4中等数学『一5y+18y=20，①(二二!!二二【6一一5y：l1．．②(：二!：：0【分析】处理无理方程(组)的基本方法是有理化．先将两个方程相加、减，再把所得=I二竺±2(=!二2的两个方程相乘，用平方差公式达到有