不同風險衡量下效率投資組合之比較分析

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1、第七十期（民國九十九年九月）：29-56.不同風險衡量下效率投資組合之比較分析許晉雄*鄒慶士**葉柏緯***摘要傳統投資組合理論主要的是以變異數來衡量風險，而其中又以Markowitz(1952)提出的平均數-變異數投資組合模型最為著名，在此模型中，由於共變異數矩陣的計算上較為困難且複雜，因此，Konno及Yamazaki(1991)另外提出了平均數-平均絕對離差模型，此模型不但節省了計算時間，並且在求解最適投資組合時，也不需要共變異數矩陣，所以降低了計算上的困難度。除此之外，亦有許多學者分別提出不同的風險測量方式，如Mar

2、kowitz(1959)提出了半變異數(semivariance)的觀念，而Estrada(2008)即以此半變異數為損失風險的觀念發展出一種較簡易的平均數-半變異數模型；其次，Bawa及Lindenberg(1977)以左偏動差(lowerpartialmoment)做為損失風險的觀念而發展出平均數-左偏動差模型；另外，Rockafellar及Uryasev(2000)則以條件風險值(conditionalvalue-at-risk)為損失風險的觀念發展出平均數-條件風險值模型。綜觀上述不同風險測量之投資組合模型，本研究以

3、半變異數、左偏動差、平均絕對離差、條件風險值來衡量投資組合的風險，與利用變異數來衡量風險作比較，分析其所求解出的最適投資組合之差異與進行相似度分析，文中發現在樣本內資料分析部分，*東吳大學財務工程與精算數學系副教授**國立台北商業技術學院企業管理系教授***國立台北商業技術學院商學研究所碩士第七十期MLPM與MSV之間的相似度指數位居第一，而MV與MMAD之間的相似度指數較高。關鍵詞：左偏動差、半變異數、絕對離差、條件風險值、投資組合績效壹、緒論近年來隨著金融商品多樣化，無論對一般或專業投資人，投資的管道也愈來愈多元性，其中

4、股票更是投資人最常運用的理財工具之一。然而許多投資人在投資股票的時候，往往過度專注於某一支股票報酬率的高低，而忽略了高報酬必伴隨著高風險以及分散投資標的可為其降低投資風險的事實。自從Markowitz提出了平均數-變異數投資組合模型（mean-varianceportfoliomodel，簡稱MV模型）後，便開創了投資組合的理論，也為上述的事實提出了合理的解釋方法。但是以傳統投資組合的變異數來衡量風險時，其所分析出來結果尚有缺失。因此，傳統以變異數（標準差）來衡量風險的方式，對於股市或其他金融商品的投資應用上不盡然合理。然而

5、，現今不論是在財務研究議題上或是在實務上對投資者而言，變異數或標準差是廣為被一般大眾所使用的風險衡量方式(Evans,2004)，但變異數或標準差並非唯一的風險衡量方式，在許多投資組合的相關文獻中，也有提供一些具有成效的風險衡量方式，例如：半變異數、左偏動差、平均絕對離差、風險值、條件風險值等(Lee,2007)。在傳統的Markowitz的理論架構下，風險的衡量往往是以變異數或標準差為主，此模式的概念是給予資產報酬的上方增值潛力與下方損失風險相等的重視，這與我們現實生活中，資產的下方風險才是投資人所關切的情形並不符合。所以

6、Markowitz(1959)即針對此不合理現象作了修正，於是提出了半變異數（semivariance，簡稱SV）的觀念，他指出以半變異數為基礎所尋找出來的投資組合優於以變異數為基礎的尋找方式，其原因在於投資者通常是關心低於預期績效部份而非高於預期績效部份。儘管Markowitz在其後續研究中並未對半變異數的加以擴展，卻陸續有其他學者開始建構不同的投資組合選擇模型，如Estrada(2008)是利用半變異數來衡量資產的下方風不同風險衡量下效率投資組合之比較分析險，提出一簡便的方法來找出最佳投資組合。而另外一方面早在1952年

7、Roy也就開始進行控制下方風險的研究，之後如Bawa及Lingenberg(1977)利用左偏動差（lowerpartialmoment，簡稱LPM）來衡量資產的下方風險，Lucas等人(1998)與Campbell等人(2001)是利用風險值（Value-at-Risk，以下簡稱VaR）來衡量資產的下方風險，但Artzer等人(1999)指出VaR本身並不符合次可加性的特質，意即表示VaR並沒有分散投資組合風險的特質，因此增加新資產部位反而有可能會增加投資組合風險值。因此本文另外參考Rockafellar及Uryasev(

8、2000)所提出的條件風險值（conditionalvalueatrisk，簡稱CVaR）來評估風險測量值。另外，從平均數-變異數投資組合模型的假設部分，其所具備的前題為資產報酬分配必須為常態分配，並且投資者具有一個固定的二次效用函數。然而，過去研究文獻證明了實務上資產的報酬並不服從常態分