复变量的指数函数

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1、＊§3复变量的指数函数·欧拉公式设有复数项级数uuu(1)12n其中每一项都是复数uabi(ab,为实数,i为nnnnn虚数单位,n1,2,),则(1)式可写成(i)(i)(i).(ababab2)1122nn以S表示(1)的前n项部分和,并记nnnRnkaI,,nkbkk11前页前页后页后页返回返回则有SRIi.nnn若limRI与lim存在则称级数,(1)收敛,若用A,Bnnnn分别记这两个极限值,则级数(1)的和为A+iB.据此,级数(1)收敛的充要条件是:级数a

2、bnn与nn11都收敛.级数(1)各项u的模为n前页前页后页后页返回返回22

3、

4、uab,1n,2,.nnn若级数

5、

6、

7、

8、uu

9、

10、u12n收敛,则称级数(1)绝对收敛.由关系式

11、

12、

13、

14、aubun,

15、

16、

17、

18、,1,2,nnnn可证得:若级数(1)绝对收敛,则级数(1)必收敛.设cnn(1,2,)为复数,z为复变量,则称级数2ncczczcz(3)012n为复数项幂级数.若zz使得级数(3)收敛,则称其0前页前页后页后页返回返回在点z收敛.所有使级数(3)收敛的全体复数构成复0数项幂级数(3

19、)的收敛域.记limn

20、

21、c,nn这时和§1实数项幂级数一样可证得:级数(3)对一1切满足

22、

23、zz的不仅收敛而且绝对收敛对一,;11切

24、

25、zz的,级数(3)发散用.R表示复数项幂前页前页后页后页返回返回级数(3)的收敛半径(当＝0时,R;当时,R0),则级数(3)的收敛范围是复平面上的以原原点为中心,R为半径的圆.例如级数2nzz1,z(4)2!n!由于1lim

26、nc

27、limn0,nnnn!故级数(4)的收敛半径R,即(4)在整个复平面前页前页后页后页返回返回上都是收

28、敛的,当z为实变量x时,(4)的和函数为实x变量的指数函数e.因此,我们也把级数(4)的和函数,x定义为复变量z的指数函数e,即2nzzze1z.(5)2!n!用同样的方法可定义复变量的正弦函数与余弦函数:352n1zzn1zsinzz(1),(6)3!5!(2n1)!前页前页后页后页返回返回242nzznzcosz1(1).(7)2!4!(2)!n它们的收敛域都是整个复平面.以iz代替(5)式中的z,可得2niz(i)zz(i)e1iz2!n!2345zzzz

29、1izii2!3!4!5!2435zzzz1i.z2!4!3!5!前页前页后页后页返回返回联系(6)与(7)式,就有izecosizsin.z当z为实变量x时,则得ixecosixxsin,x.它称为欧拉公式.这个公式给出了(实变量)指数函数与三角函数之间的关系.由于任一复数z都可写作r(cos+isin)(r为z的模,即

30、

31、,zrzarg为z的辐角),那么由欧拉公式可得复数的指数形式前页前页后页后页返回返回izrr(cosisin)e.

32、与实幂级数一样,由级数的乘法运算可得zzzzee1212e.当以zxyi代入上式,则有zxiiyxyxe=eeee(cosyisin).y前页前页后页后页返回返回