高数课件9洛必达法则

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1、洛必达法则在第一章中我们已经知道，当分子分母都是无穷小或都是无穷大时，两个函数之比的极限可能存在也可能不存在，即使极限存在也不能用“商的极限等于极限的商”这一运算法则。这种极限称为未定式本节我们就利用Cauchy中值定理来建立求未定式极限的L.Hospital法则，利用这一法则，可以直接求这两种基本未定式的极限，也可间接求出等其它类型的未定式的极限定义例如,定理定义这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.证定义辅助函数则有注①定理的条件：分子分母都是无穷小；分子分母都可导，且分母的导数不等于0；导数之比的极限存在或为∞②

2、定理的结论：函数之比的极限等于导数之比的极限③④仍有类似的结论如：定理关于型的极限，有下述定理定理结论仍成立例1解例2注在反复使用法则时，要时刻注意检查是否为未定式，若不是未定式，不可使用法则。例3解例4解例5证明证分两种情况①则连续使用μ次法则，得②则连续使用[μ]次法则，得本例说明：但它们趋于+∞的速度有快有慢由慢到快依次是：对数函数、幂函数、指数函数这一点从图上即可看出oxy例6解直接应用法则比较麻烦，先变形，再用法则例7分母→1，分子振荡而没有极限L.Hospital法则“失效”注分子分母中出现不可使用L.Hospital法则例8解注意：洛必达法则是求未

3、定式的一种有效方法，但与其它求极限方法——尤其是等价无穷小的代换——结合使用，可以简化运算过程，效果会更好，使用起来也更有效。关键:通过适当的恒等变形将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型.仍可使用L.Hospital法则来求极限步骤:即将其中之一个因子下放至分母就可转化为例9注意：对数因子不下放，要放在分子上步骤:例10解步骤:例11解例12解例13解例14解极限不存在洛必达法则失效。注意：洛必达法则的使用条件．几点说明①L.Hospital法则只是求未定式极限的一种有效方法，是充分条件，当定理的条件满足时，所求的极限存在或为∞，当定理的条件不满足时，主要

4、是指（3）不成立，即导数之比的极限不易求出，或不存在但不∞，函数之比的极限未必不存在，此时L.Hospital法则：“失效”不宜使用L.Hospital法则②L.Hospital法则只能对这两种基本未定式才可直接应用，其它类型的未定式必须先转化③L.Hospital法则与等价无穷小的代换结合使用效果会更好④使用L.Hospital法则前宜先行约去可约因子，特别是极限不为0的因子，宜将确定后的极限值提到极限号外，以简化计算（这相当于提前使用了一次乘积极限的运算法则）⑤可考虑进行恒等变形或引入适当的变量代换，以简化计算三、小结洛必达法则