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1、第一章函数、极限和连续§1.1函数一、主要内容㈠函数的概念1.函数的定义:y=f(x),x∈D定义域:D(f),值域:Z(f).⎧f(x)x∈D1y=⎨2.分段函数:⎩g(x)x∈D23.隐函数:F(x,y)=04.反函数:y=f(x)→x=φ(y)=f-1(y)y=f-1(x)定理:如果函数:y=f(x),D(f)=X,Z(f)=Y是严格单调增加(或减少)的；则它必定存在反函数：y=f-1(x),D(f-1)=Y,Z(f-1)=X且也是严格单调增加(或减少)的。㈡函数的几何特性1.函数的单调性:y=
2、f(x),x∈D,x1、x2∈D当x1＜x2时,若f(x1)≤f(x2),则称f(x)在D内单调增加()；若f(x1)≥f(x2),则称f(x)在D内单调减少()；若f(x1)＜f(x2),则称f(x)在D内严格单调增加()；若f(x1)＞f(x2),则称f(x)在D内严格单调减少()。12.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称偶函数：f(-x)=f(x)奇函数：f(-x)=-f(x)3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x),x∈(-∞，+∞)周期：T——最小的正数4.函数的有界性：
3、f(x)
4、
5、≤M,x∈(a,b)㈢基本初等函数1.常数函数：y=c，(c为常数)2.幂函数：y=xn,(n为实数)3.指数函数：y=ax,(a＞0、a≠1)4.对数函数：y=logax,(a＞0、a≠1)5.三角函数：y=sinx,y=conxy=tanx,y=cotxy=secx,y=cscx6.反三角函数：y=arcsinx,y=arcconxy=arctanx,y=arccotx㈣复合函数和初等函数1.复合函数：y=f(u),u=φ(x)y=f[φ(x)],x∈X2.初等函数:2由基本初等函数经过有限次的
6、四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数§1.2极限一、主要内容㈠极限的概念y=Alimn1.数列的极限:n→∞{y}称数列n以常数A为极限;{y}或称数列n收敛于A.{y}{y}定理:若n的极限存在⇒n必定有界.2.函数的极限：f(x)⑴当x→∞时，的极限：limf(x)=A⎞x→−∞⎟⇔limf(x)=Alimf(x)=A⎟x→∞x→+∞⎠x→xf(x)⑵当0时，的极限：limf(x)=Ax→x0limf(x)=A左极限：x→x−0limf(x)=A右极限：x→x+
7、03⑶函数极限存的充要条件：limf(x)=A⇔limf(x)=limf(x)=A定理：x→xx→x−x→x+000㈡无穷大量和无穷小量limf(x)=+∞1．无穷大量：f(x)称在该变化过程中为无穷大量。X再某个变化过程是指：−+x→−∞,x→+∞,x→∞,x→x0,x→x0,x→x0limf(x)=02．无穷小量：f(x)称在该变化过程中为无穷小量。3．无穷大量与无穷小量的关系：1limf(x)=0⇔lim=+∞,(f(x)≠0)定理：f(x)limα=0,limβ=04．无穷小量的比较：βlim
8、=0⑴若α,则称β是比α较高阶的无穷小量；βlim=c⑵若α（c为常数），则称β与α同阶的无穷小量；βlim=1⑶若α，则称β与α是等价的无穷小量，记作：β～α；4βlim=∞⑷若α,则称β是比α较低阶的无穷小量。α~β，α~β；定理：若：1122limα1=limβ1则：α2β2㈢两面夹定理1．数列极限存在的判定准则：y≤x≤z设：nnn（n=1、2、3…）limy=limz=a且：nnn→∞n→∞limx=an则：n→∞2．函数极限存在的判定准则：设：对于点x0的某个邻域内的一切点（点x0除外）有
9、：g(x)≤f(x)≤h(x)limg(x)=limh(x)=A且：x→x0x→x0limf(x)=A则：x→x05㈣极限的运算规则limu(x)=A,limv(x)=B若：lim[u(x)±v(x)]=limu(x)±limv(x)=A±B则：①②lim[u(x)⋅v(x)]=limu(x)⋅limv(x)=A⋅Bu(x)limu(x)Alim==(limv(x)≠0)③v(x)limv(x)Blim[u(x)±u(x)±⋯±u(x)]推论：①12n=limu(x)±limu(x)±⋯±limu(x
10、)12nlim[c⋅u(x)]=c⋅limu(x)②nnlim[u(x)]=[limu(x)]③㈤两个重要极限sinxsinϕ(x)lim=1lim=11．x→0x或ϕ(x)→0ϕ(x)11xlim(1+)=elim(1+x)x=e2．x→∞xx→0§1.3连续一、主要内容㈠函数的连续性1.函数在x0处连续：f(x)在x0的邻域内有定义，6lim∆y=lim[f(x+∆x)−f(x)]=01o00∆x→0∆x→0limf(x)=f(x)o02x→x0li
