专升本高数导数的概念习题课.ppt

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1、1．导数的定义2．求导法则3．微分与应用一、本章要点1．导数的定义1)导数左导数右导数函数可导左导数=右导数．可导与连续的关系：函数在一点可导，则在该点连续．导数的几何意义：函数在一点的导数为函数曲线在该点曲线的切线方程及法线方程：切线法线的切线斜率．2)求导法则设为可导函数，则反函数的求导法则设函数为的反函数，直接函数在区间上连续、单调，可导且其导函数，则对于具有更多中间变量的复合函数，则相应的导数为复合函数的导数设函数均为可导函数，则函数为可导函数，且3)高阶导数若函数是阶可导，则递归定义，或，其中，记．阶导数的Leibniz公式设为两个阶可导的函数，则函数也阶可导，且有由

2、隐函数求导法，得到对数求导法．4)隐函数的导数设函数由方程确定，在一定的条件下，可以求出函数的导数．注意，一般情况下，其导函数的表达式仍然以隐式方程的形式给出．5)由参数方程确定的函数的导数设函数由参数方程确定，则当时，可确定为的函数(或为的函数)，相应的导数为由此方法，可得到更高阶的导数．若令，则3．微分1)微分的定义若函数的增量具有表达式则函数可微，相应的微分为2)可微的条件函数在点处可微的充要条件是在点可导，且有3)微分应用近似计算公式二、例题选讲例1设求．解当时，，，当时，，，当时，即不存在．因此例2设且存在，求．解因存在，故在处连续，所以即得．又因存在，而因此．例3设

3、在的某个邻域内有定义，又，讨论下列函数在的可导性：⑴；⑵．解⑴设，则，即．⑵设，则，故极限存在的充分必要条件为，此时例4设其中，且，证明证，故，，因此即得．例5可导函数的图形与相切于原点，试求．解由条件得，，例6证明可导的周期函数的导函数为周期函数．因此有证设为周期函数，为其周期，即即为周期函数．例7设，求．解法一因　　　　，因此解法二因，其中为一多项式，故例8设，求．解故切线方程与法线方程分别为例9曲线上哪一点的切线与直线平行，并求过该点的切线与法线方程．解设切点为，则切线的斜率为例10试求垂直于直线且与曲线相切的直线方程．解设切线的斜率为，切点为，因切线与已知直线垂直，得．

4、又由得，从而切点为．故切线方程为例11设，其中为可导函数，求．解解两边取对数，得例12设由确定，求．两边对求导，得两边继续求导，得即所以将　代入上式并整理，得例13设，求．解，因此即例14求由参数方程所确定的函数的二阶导数．解解将极坐标转化为参数方程，得切线方程．例15求由三叶玫瑰线在对应处的则当时，．切线斜率故切线方程为直的方向航行，求经过5s后，人与小船分离的速度．例16某人以2m/s的速度通过一座桥，桥面高出水面20m，在此人的正下方有一条小船以m/s的速度在与桥垂解设经过秒后，船与人的距离为m，人行走距离船的距离为为m，船行走距离为m，则人与20m当时，，，，代入上式，

5、得已知，，方程两边对求导，得例17求的近似值．解三、练　习1．求下列函数的导数：1)；2)；3)；4)；5)；6)；7)；8)2．求高阶导数1)，求；2)求；3)，求；4)，求；数，求．5)设，其中为阶可导函