时域离散系统的差分方程描述

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1、线性常系数差分方程的表示线性：y(n-i)，x(n-i)各项只有一次幂。常系数：a0,a1,…,aN;b0,b1,…,bM均是常数。阶数：y(n-i)项中i的最大值与最小值之差。差分方程重要的特点：系统当前的输出不仅与激励有关，而且与系统过去的输出有关，即系统具有记忆性。差分方程与系统结构系统结构系指系统的输入与输出的运算关系的表述方法。由差分方程可直接得到系统结构。用⊕表示相加器；用表示乘法器；用表示一位延时单元。例：差分方程y(n)=b0x(n)-a1y(n-1)表示的系统结构为：x(n)b0b0x(n)⊕y(n)b0x(n)-a1y(n-1)-a

2、1y(n-1)-a1y(n-1)求解差分方程——递推法设一系统的差分方程为y(n+1)+a0y(n)=b0x(n)，其输入序列x(n)=0，求输出y(n)。解答：由x(n)=0得y(n+1)=-a0y(n)设y(n)的初值为y(0)，则n=1时，y(1)=-a0y(0)n=2时，y(2)=(-a0)2y(0)n=3时，y(3)=(-a0)3y(0)…n=n时，y(n)=(-a0)ny(0)即y(n)=y(0)(-a0)nu(n)差分方程相同，输入信号也一样，但不同的初始条件会得到不同的系统输出。注意用递推法求解差分方程练习1设系统用差分方程y(n)=a

3、y(n-1)+x(n)描述，x(n)=(n)，分别求y(-1)=0和y(-1)=1时输出序列y(n)。(1)y(-1)=0n=0,y(0)=ay(-1)+δ(0)=1n=1,y(1)=ay(0)+δ(1)=an=2,y(2)=ay(1)+δ(2)=a2….n=n,y(n)=any(n)=anu(n)(2)y(-1)=1，同理可得y(n)=(1+a)nu(n)[单击退出][解答]用递推法求解差分方程练习2对于实际系统，用递推法求解，总是由初始条件向n>0的方向递推，是一个因果解。但对于差分方程，基本身也可以向n<0的方向递推，得到的是非因果解。因此差分

4、方程本身不能确定该系统是因果系统还是非因果系统，还需要用初始条件进行限制。例：设差分方程为y(n)=ay(n-1)+x(n)，n>0时，y(n)=0。当x(n)=(n)时，求输出序列y(n)。[解答]解：y(n-1)=a-1(y(n)-(n))n=1,y(0)=a-1(y(1)-(1))=0n=0,y(-1)=a-1(y(0)-(0))=-a-1n=-1,y(-2)=a-1(y(-1)-(-1))=-a-2……n=-

5、n

6、,y(n-1)=-an-1将n-1用n代替得y(n)=-anu(-n-1)[单击退出]求解差分方程——MATLABMATL

7、AB提供了filter函数求解差分方程。调用格式1：yn=filter(B,A,xn)计算系统对输入向量xn的零状态响应yn。调用格式2：yn=filter(B,A,xn,xi)计算系统对输入向量xn的全响应yn。全响应就是由初始状态引起的零输入响应和输入信号xn引起的零状态响应之和。xi是等效初始条件的输入序列，所以xi由初始条件确定，MATLAB中由函数filtic计算，其调用格式如下：xi=filtic[B,A,ys,xs]其中，ys和xs是初始条件向量：ys=[y(-1),y(-2),…,y(-N)]xs=[x(-1),x(-2),…,x(-M

8、)]如果xn是因果序列，由xs=0，调用时可缺省。B和A是差分方程的系数向量，即B=[b0,b1,…,bM]，A==[a0,a1,…,aN]求解差分方程——MATLAB示例求解差分方程y(n)=ay(n-1)+x(n)，y(-1)=1。MATLAB代码：a=0.8;ys=1%设a=0.8xn=[1,zeros(1,30)];%设x(n)=(n),长度N=31B=1;A=[1,-a];xi=filtic(B,A,ys);yn=filter(B,A,xn,xi);n=0:length(yn)-1;subplot(3,2,1);stem(n,yn,’.’)

9、title(‘(a)’);xlabel(‘n’);ylabel(‘y(n)’)差分方程与系统的线性非时变性一个线性常系数差分方程描述的系统并不一定代表因果系统，也不一定表示线性时不变系统。这些都由边界条件（初始）所决定。一个线性常系数差分方程描述的系统如果是因果的系统，一般在输入x(n)=0(n

10、(2)令x(n)=(n-1)，系统输出为y2(n)=an-1u(n-1)(3)令x(n)=