3-2非正弦周期函数展开成傅里叶级数

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1、3-2非正弦周期函数展开成傅里叶级数页码，1/73-2非正弦周期函数展开成傅里叶级数周期信号是定义在(-∞,∞)区间，每隔一定时间T，按相同规律重复变化的信号。一般表示为f(t)=f(t+mT)m=0,±1ٛ⋅⋅⋅,ٛ2±,ٛ（3-12）式中，T为该信号的重复周期，其倒数称为该信号的频率，记为1f=T或角频率                      2πΩ==2πfT对于非正弦周期函数，根据定理3-1，可以用在区间(t0,t0+T)内完备的正交函数集来表示。下面讨论几种不同形式的表示式。一、三角函数表示式由上节讨论可知，三角函数集{cosnΩt,sinmΩ

2、t}(n,m=0,1,2,⋅⋅⋅)在区间(t0,t0+T)内为完备正交函数集。根据定理3-1，对于周期为T的一类信号(函数)中任一个信号f(t)都可以精确地表示为{cosnΩt,sinmΩt}的线性组合，即对于f(t)=f(t+nT)有                    a∞ٛ0f(t)=+∑(ٛacosnΩt+bsinnΩt)(3-13)nn2n=1由式(3-10)，得http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/06/xinhaoxitong/ch3/kejian/3-2.htm2008-11-163-2非正弦周期函数展开成傅里叶级数

3、页码，2/72T/2⎫a=f(t)cosnΩtdtn∫−T/2⎪T2T/2⎪b=f(t)sinnΩtdt⎪nT∫−T/2⎪⎬(3-14)2T/2a=f(t)dt⎪0∫T−T/2⎪2π⎪Ω=T⎪⎭式(3-13)称为周期信号f(t)的三角型傅里叶级数展开式。从数学上讲，当周期信号f(t)满足狄里赫利条件时才可展开为傅里叶级数。但在电子、通信、控制等工程技术中的周期信号一般都能满足这个条件，故以后一般不再特别注明此条件。若将式(3-13)中同频率项加以合并，还可写成另一种形式，即∞ٛf(t)=A0+∑ٛAncos(nΩt+ϕn)(3-15)n=1比较式(3-13)

4、和式(3-15)，可看出傅里叶级数中各量之间有如下关系：A=a2+b2⎫ٛnnnٛ⎪bϕ=−arctann⎪ٛnٛa⎪n⎪ٛa=Acosϕ⎬ٛ（3-16）nnn⎪ٛb=−Asinϕnnn⎪ٛa0⎪ٛA=02⎪⎭ٛٛ式(3-15)称为周期信号f(t)的余弦型傅里叶级数展开式。式(3-13)和式(3-15)表明，任何周期信号，只要满足狄里赫利条件，都可以分解为许多频率成整数倍关系的正(余)弦信号的线性组合。在式(3-13)中，a0/2是直流成分；a1cosΩt,b1sinΩt称为2πΩ=基波分量，T为基波频率；ancosnΩt,bnsinnΩt称n次谐波分量。直

5、流分量的大小，基波分量和各次谐波的振幅、相位取决于周期信号f(t)的波形。从式(3-14)和式(3-16)可知，各分量的振幅an,bn,An和相位ϕn都是nΩ的函数，并有：http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/06/xinhaoxitong/ch3/kejian/3-2.htm2008-11-163-2非正弦周期函数展开成傅里叶级数页码，3/7⎧an=a−n⎨An,an是nΩ的偶函数，即 ⎩An=A−n；⎧−ϕn=ϕ−n⎨ϕn，bn是nΩ的奇函数，即 ⎩bn=−b−n例3-2图3-3所示锯齿波，求其三角型傅里叶级数展开式。f(t)π−

6、ππt−2π2π−π图3-3解  由图3-3可知，该信号f(t)在一个周期区间(-π,π)内，有⎧t−π

7、理3-1，对于任意周期为的信号Tf，可在区间(t)(t0,t0+内表示为T)http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/06/xinhaoxitong/ch3/kejian/3-2.htm2008-11-163-2非正弦周期函数展开成傅里叶级数页码，4/7jnΩt{e}的线性组合。即∞ٛjnΩtf(t)=∑ٛFne(3-17)n=−∞ٛ式中Fn由式(3-10)可求得为1T/2F=∫−−f(t)e−jnΩt(3-18)nTT/2式(3-17)称为周期信号f(t)的指数型傅里叶级数展开式。由于Fn通常为复数，所以式(3-17)又称为复系数傅里叶

8、级数展开式。同一个周期信号f(t)，既可以展开成式(