修正偏差原理下快速求解初始数据均有扰动的第一类Fredholm积分方程

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1、2015年6月高等学校计算数学学报第37卷第2期修正偏差原理下快速求解初始数据均有扰动的第一类Fredholm积分方程杨旭罗兴钧杨素华(赣南师范学院数学与计算机科学学院，赣州341000)李繁春(江西应用技术职业学院基础教学部，赣州341000)AFASTMULTISCALEMETHoDFoRTHEFREDHOLMINTEGRALEQUATIONWITHNoNEXACTIGIVENINPUTDATAVIAMoDIFIEDDISCREPANCYPRINCIPLEYangXuLuoXingjunYangSuhua(SchoolofMathematics

2、andComputerScience，GannanNormalUniversity,Ganzhou341000)LiFanchun(DepartmentofBasicTeachingMinistry,JiangxiVocationalCollegeofAppliedTechnology，Gahzhou341000)AbstractInthispaperwedevelopafastmultiscaletruncationmethodforsolv—ingtheFredholmintegralequationofthefirstkindwithnone

3、xactlygiveninputdata．Theconvergenceratesfortheapproximationsolutionsareachievedbyusingthemodifieddiscrepancyprincipleasaposterioriparametersselectionstrategy．Numericalexperimentsaregiventoillustratetheeficiencyofthemethod．国家自然科学基金(11061001，11361005)；江西省自然科学基金(20114BAB201014201

4、51BAB201011)．收稿日期：2013．04．22．·112·杨旭等：修正偏差原理下快速求解初始数据均有扰动的第一类Fredholm积分方程第2期KeywordsFredholmintegralequation，multiscaleprojectionmethod，modifieddiscrepancyprinciple，Tikhonovregularization．AMS(2000)subjectclassifications6532065J10中图法分类号O171引言第一类Fredholm型积分方程的求解有广泛的应用背景．如图象处理、信号

5、处理、地球物理、遥感技术、模式识别等众多科学技术领域中均会遇到第一类Fredholm型积分方程的求解问题．但是第一类Predholm积分方程的求解是一个典型的病态问题．数值计算对舍入误差非常敏感，数值结果不连续依赖于初始数据，要得到稳定的数值解要采用正则化方法．对于如何快速进行数值计算，研究结果有一些[1-5]，但还有许多问题可以研究，比如对于积分核有扰动的情形，研究的成果很少】．本文将文献『1]的算法推广到初始数据均有扰动的情形，即采用多尺度截断投影方法快速求解初始数据均有扰动的病态积分方程，并且分析其计算复杂度和收敛率．应用修正的偏差原理作为后

6、验参数选择策略，并证明其近似解达到最优收敛阶．2多尺度Galerkin方法设E是(d1)中的一个有界闭集，是Hilbert空间L。(E)，其内积与范数分别为(-，·)，l1．1I．令K：—是紧线性算子，定义为(Kx)(s)：=／(s，t)x(t)dt，s∈E，JE其中核函数k∈C(E×E)．考虑第一类Fredholm积分方程Kx=Y，(2．1)其中Y∈是已知函数，X∈是待求函数．假设n(K)不是闭集，于是方程(2．1)是不适定，即它的最小范数解不连续依赖于右端数据．为了得到方程(2．1)的稳定解，需要将方程(2．1)正则化．在实际应用中，只能得到与

7、Y的一个近似‰∈c(x)与Y∈，满足不等式ll—KhlIh，1l一Yll，(2．2)2015年6月高等学校计算数学学报113其中h>0，>0．于是，实际问题中，求解的是如下的算子方程Khx=Y6(2．3)对于给定的{，)，我们要构造有效的有限维空间的解去逼近方程(2．1)的最小范数解十．为了得到近似解的最优收敛率，假设tEM，P={=(K)，1IlI，>0，0<1)．(2．4)为了得到十的近似解，一种常用且有效的正则化方法是Tikhonov正则化方法．利用Tikhonov正则化方法，可以把方程(2．3)转化为适定的方程(+Ah)’=K；y，(2．5

8、)其中Ah：=，是Kh的伴随算子．接下来介绍求解方程(2．5)的多尺度Galerkin方法．记N：={1，2，⋯)，No：