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1、1第一类Fredholm积分方程，具有形式如下：,(1)其中核函数和自由项为已知函数，是未知函数。此类积分方程虽然形式简单，但其求解却比较困难，所以这类方程在下文将做详细介绍。2第二类Fredholm积分方程，具有如下的形式：,(2)离散积分方程的数值方法有很多种，比如可以用复化梯形公式、复化辛普森公式等，这里我们利用复化梯形公式来进行离散。一、复化梯形公式离散过程如下：下面具体给出复化梯形公式对第二类积分方程的一般离散过程。最后对变量进行离散，将区间等分为份，步长为，同时忽略积分公式误差项：其中得到线性方程组其中，再对上述方程进行数值求解，即可。例：求解积分方程，其解
2、析解为代码如下：functionK=K(x,y)K=1/(1+y)-x;functionw1=fun1(x)w1=1./((1+x).*(1+x));functionf=f(x)f=(4*x.*x.*x+5*x.*x-2*x+5)./(8*(x+1).*(x+1));functionw5=fww(a,b,n)%第一类fredholm方程解的程序%w5=[w1,w2,w3,w4],各列分别表示真解、数值解、最小二乘解、正则解%a,b表示积分区间[a,b]%n表示将区间n等分%m表示正则参数的取值h=(b-a)/n;x=a:h:b;y=a:h:b;A=zeros(n+1,n
3、+1);%初始化矩阵A为n+1阶零矩阵g=zeros(n+1,1);%初始化列向量g为n+1维零向量w1=zeros(n+1,1);%初始化列向量w1为n+1维零向量fori=1:n+1forj=1:n+1A(i,j)=K(x(i),y(j));endg(i)=f(x(i));w1(i)=(fun1(x(i)));%计算方程的真解endA(:,1)=A(:,1)/2;A(:,n+1)=A(:,n+1)/2;A=h*A;A=eye(n+1,n+1)-A;w2=Ag;%得到的数值解aa=norm(w1-w2)/norm(w1);%相对误差bb=norm(w1-w2);%绝
4、对误差cc=[w1w2];plot(x,w1,'b+')%真解holdonplot(x,w2,'r*')%数值解%axis([01-100100]);%设置坐标轴title('数值解与真解的比较');%加图形标题xlabel('变量y');%加x轴说明ylabel('y对应的解');%加y轴说明运行结果：>>fww(0,1,50)aa=0.%相对误差bb=0.%绝对误差二、辛普森公式离散过程如下：下面给出复化梯形公式对第二类积分方程的一般离散过程。由于辛普森公式中取到中点的值，所以我们在区间上取个点。最后对变量进行离散，将区间等分为份，步长为，同时忽略积分公式误差项：其
5、中得到线性方程组其中，再对上述方程进行数值求解，即可。例：求解积分方程，其解析解为代码如下：functionv=knl(x,t)v=1/(1+t)-x;functionf=fnc(x)f=(4*x.*x.*x+5*x.*x-2*x+5)./(8*(x+1).*(x+1));functiony=inteqn(t,kernel,fun,coef)%%Inputs%tevaluationpointsofthequadraturerule%kernelkernelfunctionK%funfunctionf%coefquadraturerulecoefficients%Outp
6、ut%ydiscretesolutionvaluesattn=length(t);f=feval(fun,t);%forj=1:nfori=1:nK(j,i)=feval(kernel,t(j),t(i));endend%A=eye(n)-K*diag(coef);forj=1:nA(:,j)=-coef(j)*K(:,j);A(j,j)=1.0+A(j,j);endy=Af;k=input('Enternumberofpannels:');x=linspace(0,1,k+1);x=x';%evenlyspacedknots%Note:thisxcanberepla
7、cedbyanypartitionof[0,1]y=zeros(length(x),1);%discreteapproximationatx%useSimpson’sn=2*k+1;%numberofpointsinSimpson’srulecoef=zeros(n,1);%coeficientsinSimpson’trulet=zeros(n,1);%pointsinSimpson’srule%generateSimpson’srulecoefficientsandevaluationpointsfori=1:kcoef(2*i-1:2
