重心插值配点法求解分数阶fredholm积分方程

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1、!第"#卷第$期郑州大学学报!理学版"%&’("#)&($!*+$,年-月./0123451&67389/!):;/<=8/>?/"@:A(*+$,重心插值配点法求解分数阶0=:C9>D;积分方程虎晓燕!!韩惠丽!宁夏大学数学统计学院!宁夏银川,D++*$"摘要!重心插值配点法是插值法和配点法的结合和推广$它具有稳定性好/高精度和计算效率高等优点/主要运用高精度无网格重心插值配点法求解分数阶cA2?1&’E积分方程/首先推导了基于分数阶cA2?1&’E积分方程重心插值配点法的离散公式$然后通过理论分析得出其解的存在唯一性与误差分析$最后利用数值算例通

2、过对等距节点与第二类T12ZHI129节点的对比$验证了所用方法的高精度和可靠性$并得出影响精度的条件/关键词!重心插值配点法&高精度&分数阶积分方程&无网格中图分类号!N$,D/B!!!!!文献标志码!K!!!!!文章编号!$B,$CBO"$!*+$,"+$C++$,C+,!"#!$+/$-,+DPQ/8II3/$B,$CBO"$/*+$B*+-$%引言分数阶微积分有着广阔的应用领域和前景$如生物传热/粘弹性力学/图像信号和风力发电等/由于求分数阶微积分方程的解析解存在诸多困难$所以重点研究它的数值解/目前微积分方程的数值解法较多$如)$*)**)

3、-*)"*)D*)B*有限差分法/有限元法/小波方法/拉格朗日乘子法/变分迭代法/同伦摄动法等$也有与统计),*力学相结合的随机行走方法等/上述方法较多研究整数阶微积分方程$而分数阶微积分方程更复杂$精确数值模拟分数阶微积分方程的困难更大$现有文献中研究分数阶微积分方程数值解的理论较少$而且很少考虑计算精度或收敛速度等问题/高精度无网格重心插值配点法是一种新型求解分数阶积分方程的数值方)O*法$该方法相对其他数值方法而言应用前景广阔$克服了一般插值方法的振荡性和向前稳定性$具有计算精度高$不用划分网格$程序容易实现等诸多优点/重心插值配点法多用于数值

4、模拟积分微分方程和偏微分方程/文献)#*运用线性重心有理插值配置法求解了一阶线性双曲型初值边值问题/文献)$+*运用两种重心型插值求解了带初值问题和边值问题的二阶线性微分方程$并将重心插值法与拟谱法以及微分求积法做了比较$得出重心插值法比其他数值方法精度更高/文献)$$*使用直接线性重心有理插值!hL_"求解了线性cA2?1&’E积分函数$用间接线性重心有理插值法!SL_"求解了线性%&’;2AA:积分函数$并给出了误差估计$从而说明了重心插值法的高效性/与以往插值配点法不同$本文将运用重心插值配点法求解分数阶cA2?1&’E积分方程$从而推导出分数

5、阶cA2?1&’E积分方程重心插值配点法的离散计算公式/通过证明解的存在唯一性/误差估计以及数值算例验证本文方法的高精度和可靠性/&%重心插值配点法设)R!RR+$$$+$(e$"是函数0!)"的(e$个不同的插值节点$其对应的函数值为0R#如果要使用多项式插值$则可以在多项式空间中求插值多项式6!)"$使得6!)R"R0R$RR+$$$+$($而多项式空间的次数不超过(#)$**定义&!重心M:4A:342插值公式((()R)R6!)"%!0"7!"%-!)"0$!$"%R%%RRR%+)/)RR%+)/)RR%+!!收稿日期!*+$BC+OC$D

6、!!基金项目!国家自然科学基金项目!$$*B$+"$$$$*B$+"D"/!!作者简介!虎晓燕!$#O##"$女$宁夏固原人$硕士研究生$主要从事积分方程数值解的研究$>CE:8’%16F8:&H:3=:8G$B-/=&E&通讯作者%韩惠丽!$#,*#"$女$宁夏银川人$教授$主要从事积分方程数值解的研究$>CE:8’%3F1:3G$*B/=&E/$O郑州大学学报!理学版"第"#卷()R)K式中-R!)"为M:4A:342插值基函数$其表达形式为-R!)"%!"7!%"$满足%当RRK时$-R!)K"R)/)RK%+)/)K’RKR$&当R(K时$-

7、R!)K"R’RKR+#)R为重心权$其定义为()R%$7-!)R/)K"$!R%+$$$+$(#!*"R(K由式!$"可知$分子和分母都包含重心权)R$由式!*"可知$重心权只依赖于插值节点的分布$因此插值节点直接影响着重心权#本文主要采用等距节点和第二类T12ZHI129节点来研究分数阶积分方程的数值解#/%分数阶积分方程)$-*+定义/!设函数0!F"为定义在SR!+$e!"上分段连续$且在SR)+$e!"的任意有限子/*区间上可积#对.Fg+/L2*g+的任意复变量*$函数0!F"的*阶!T-分数阶定义为+.F0!F"%F$*/$"!F/+"

8、0!+"?+$其中%*g+&!!."为^:EE:函数#!!*"+3%格式推导本文主要探讨如下形式的分数阶cA