函数单调性的应用 (2)

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1、函数单调性的应用广水市第一高级中学周潘2012-10-2教学内容：函数单调性的应用教学目的：利用单调性解决二次函数最值，含参数的函数问题，及解决抽象函数问题。教学重点：含参数问题的讨论，抽象函数问题。教学难点：单调性的综合应用。教学过程：一．教材预知1.用定义证明函数单调性的步骤是（1），（2），（3），（4），（5）。2.若函数y=f(x)在某区间上是增（减）函数，则y=-f(x)在这个区间上为函数；若函数y=f(x)和y=g(x)在某个公共区间上都是增（减）函数，则y=f(x)+g(x)在这个区间上是函数。3.若函数y=f(x)在

2、闭区间[a,b]上具有单调性，则它在这个区间上必取得最大值和最小值，当f(x)在[a,b]上递增时，ymax=,ymin=;当f(x)在[a,b]上递减时,ymax=,ymin=。二．基础自测1.已知f(x),g(x)定义在同一区间上，f(x)是增函数，g(x)是减函数，且g(x)≠0，则（）A.f(x)+g(x)为减函数B.f(x)-g(x)为增函数C．f(x)·g(x)是减函数D.是增函数2.函数y=f(x)在R上单调递增，且f(m2)>f(-m)，则实数m的取值范围是（）A.(-∞,-1)B.(0,+∞)C.(-1,0)D.(-

3、∞,-1)∪(0,+∞)3.已知x∈[0,1]，则函数y=-的最大值为，最小值为。三．例题精选类型一函数的最值问题例1：函数f(x)=ax2-2ax+2+b(a≠0)在[2,3]上有最大值5和最小值2，求a,b的值.解题过程（略）点评：二次函数在某个区间[a,b]上的最值只可能在两个端点或顶点处取得。即时突破：已知函数f(x)=-4x2+4ax-4a-a2在[0,1]内有最大值-5，求a的值。类型二已知单调性求参数值或取值范围例2：已知函数f(x)=x-x+2在(1,+∞)上是增函数，求实数a的取值范围。解题过程（略）点评：已知函数f

4、(x)在区间A上是增（减）函数，确定某个与该函数有关的参数值或取值范围问题，基本思路是：（1）设x10（减）成立的条件。即时突破：(1)已知函数f(x)=x2-2（1-m）x+2的单调减区间是(-∞,4，求实数m的值。(2)已知函数f(x)=x2-2（1-m）x+2在区间(-∞,4上是减函数，求实数m的取值范围。类型三利用函数的单调性解不等式例3．已知f(x)是定义在R上的函数，并且对任意x,y，都有f(x+y)=f(x)+f(y)-1成立，当x>0时，f

5、(x)>1,（1）证明f(x)在R上是增函数;（2）若f(4)=5,求f(2)的值;（3）若f(4)=5，解不等式f(3m2-m-2)<3.解题过程（略）点评：本例中的（3）要解不等式，就必须寻找关于m的不等式，即依据函数单调性将函数值大小关系转化为自变量大小关系。即时突破：已知函数f(x)的定义域为（-1，1），且满足下列条件：（1）f(x)=-f(-x);（2）f(x)在定义域上单调递增；（3）f(1-a)=-f(1-a2)<0求实数a的取值范围。四．课堂小结：函数单调性是函数的一个重要性质，在研究函数时有着非常广泛的应用，应重点

6、掌握下列三个方面的问题：（1）利用函数的单调性比较函数值的大小。（2）利用函数的单调性解不等式，常见题型是，已知函数的单调性，给出两个函数的大小，求含于自变量中的某个特定的系数，这时就应该利用函数的单调性“脱”去抽象的函数“外衣”，以实现不等式间的转化。（3）利用函数的单调性确定函数的值域，求函数的最大值和最小值。