概率论习题答案(4)

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1、习题四1.设随机变量X的分布律为X1012P1/81/21/81/4求E（X），E（X2），E（2X+3）.11111【解】(1)EX()(1)012;828422212121215(2)EX()(1)012;828441(3)E(2X3)2()3EX23422.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差.【解】设任取出的5个产品中的次品数为X，则X的分布律为X012345P5142332415CCCCCCCCCC901090109010901090100.

2、5830.3400.0700.00700555555CCCCCC100100100100100100故EX()0.58300.34010.07020.007304050.501,52DX()[xiEX()]Pii0222(00.501)0.583(10.501)0.340(50.501)00.432.3.设随机变量X的分布律为X101Pp1p2p3且已知E（X）=0.1,E(X2)=0.9,求P1，P2，P3.【解】因PPP1……①,123又EX()(1)P0P1

3、PPP0.1……②,123312222EX()(1)P0P1PPP0.9……③12313由①②③联立解得P0.4,P0.1,P0.5.1234.袋中有N只球，其中的白球数X为一随机变量，已知E（X）=n，问从袋中任取1球为白球的概率是多少？1【解】记A={从袋中任取1球为白球}，则NPA()全概率公式PAX{

4、kPX}{k}k0NNk1PX{k}kPX{k}k0NNk01nEX().NN5.设随机变量X的概率密度为x,0x1,f（x）=2x,1x2,0,其他.求E（X）

5、，D（X）.122【解】EX()xfxx()d0xxd1x(2xx)d123132xxx1.30311272232EX()xfxx()d0xxd1x(2xx)d6221故DX()EX()[()]EX.66.设随机变量X，Y，Z相互独立，且E（X）=5，E（Y）=11，E（Z）=8，求下列随机变量的数学期望.（1）U=2X+3Y+1；（2）V=YZ4X.【解】(1)EU[]E(2X3Y1)2()3()1EXEY25311144.(2)EV[]

6、EYZ[4]XEYZ[]4()EX因YZ,独立EYEZ()()4()EX1184568.7.设随机变量X，Y相互独立，且E（X）=E（Y）=3，D（X）=12，D（Y）=16，求E（3X2Y），D（2X3Y）.【解】(1)EX(32)Y3()2()EXEY33233.22(2)D(2X3)Y2DX()(3)DY412916192.8.设随机变量（X，Y）的概率密度为2k,0x1,0yx,f（x，y）=0,其他.试确定常数k，并求E（XY）.1x1【解】因fxyxy(

7、,)dddxkydk1,故k=20021xEXY()xyfxyxy(,)dd0xxd02dyy0.25.9.设X，Y是相互独立的随机变量，其概率密度分别为(y5)2x,0x1,e,y5,fX（x）=fY（y）=0,其他;0,其他.求E（XY）.【解】方法一：先求X与Y的均值12EX()xxx2d,03(y5)令zy5zzEY()5yedy50edz0zedz516.由X与Y的独立性，得2EXY()EXEY()()64.3方法二

8、：利用随机变量函数的均值公式.因X与Y独立，故联合密度为(y5)2ex,0x1,y5,fxy(,)f()xf()yXY0,其他,于是112(y5)2(y5)EXY()50xyx2eddxy02dxx5yedy64.310.设随机变量X，Y的概率密度分别为2x4y2e,x0,4e,y0,fX（x）=fY（y）=0,x0;0,y0.求（1）E（X+Y）;（2）E（2X3Y2）.2x2x-2x【解】()Xxf()dxxx2edx[xe]edx

9、X00012xedx.0214yEY()yf()dyyy4e