线性控制系统的运动分析

《线性控制系统的运动分析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、1第三章线性控制系统的运动分析（状态空间表达式求解）2第三章线性控制系统的运动分析引言状态空间表达式建立后（第二章知识），就需要根据对象的状态空间模型对系统进行分析，以期揭示系统的运功规律和基本特性；对系统的分析包括定性分析和定量分析两类；本章主要对系统的运动规律进行精确研究（定量分析），即在已知外部输入信号和系统初始状态下，如何根据状态空间模型来确定系统未来的状态。3第三章线性控制系统的运动分析本章主要内容线性定常系统齐次状态方程的求解状态转移矩阵定义性质求法：直接计算法、拉氏变换法等线性定常系统非齐次状态方程的解直接法（积分法）拉氏变换法43.1线性定常系统的齐次状态方程的解

2、何谓控制系统的运动分析？——即，在给定的输入信号和初始状态下，进一步了解系统状态和输出的时间响应的问题。在数学上，可归结为：对于给定的初始条件和输入u（t），来求解系统的动态方程。另一方面，线性系统满足叠加定理；∴要确定上述系统响应，可分别考虑系统对初始条件的响应和对输入信号的响应，两者叠加就可得到所要的系统响应。53.1线性定常系统的齐次状态方程的解基于此思路，可先单独考虑系统对初始条件的响应；即，需考虑齐次状态方程（也称自由运动方程或自治方程，因为外部输入为零）的求解问题。1、齐次状态方程的解：——系统在输入为零的情况下，由系统的初始状态x(t0)引起的自由运动，称为系统的自由

3、解或零输入解。63.1线性定常系统的齐次状态方程的解2、齐次状态方程的求解（时域、频域）为n维向量1）幂级数法设其解为t的向量幂级数形式，为：（3.1）（3.2）将式3.2代入3.1中，可得：（3.3）73.1线性定常系统齐次状态方程的解∴齐次状态方程的解为：（3.3）8定义：称为矩阵指数函数，简称矩阵指数，又称为状态转移矩阵齐次方程的解：自由运动的解仅是初始状态的转移，状态转移矩阵包含了系统自由运动的全部信息，它唯一决定了系统中各状态变量的自由运动3.1线性定常系统齐次状态方程的解9齐次状态方程的求解问题状态转移矩阵的计算问题时3.1线性定常系统齐次状态方程的解102）拉普拉斯变

4、换法3.1线性定常系统齐次状态方程的解11例3.1已知系统状态方程为，初始条件为试求状态方程的解。解：12则：13本节要点：1、线性定常系统的齐次状态方程解的定义及物理意义2、求解的方法：幂级数法拉氏变化法3、状态转移矩阵3.1线性定常系统齐次状态方程的解143.2状态转移矩阵3.2.1状态转移矩阵的性质性质1：状态转移矩阵的初值为单位阵。证明：当时，对线性定常系统，状态转移矩阵有以下对应关系：n阶的时变函数方阵153.2状态转移矩阵性质2：状态转移矩阵的导数证明：163.2状态转移矩阵性质3：状态转移矩阵的分解转移至状态状态转移矩阵的转移至状态状态转移矩阵的性质4：其逆阵证明：由

5、性质3得：根据逆矩阵的定义，则：173.2状态转移矩阵性质5：通过状态转移矩阵进行状态间的转移证明：183.2状态转移矩阵性质6：状态转移矩阵的传递性证明：由性质5193.2状态转移矩阵证明：性质8：状态转移矩阵的交换性性质7：注意：请熟练掌握状态转移矩阵的多种性质，以便在解题中灵活应用。若，则：20例3.2已知状态转移矩阵为试求解：根据状态转移矩阵的运算性质有3.2状态转移矩阵213.2状态转移矩阵3.2.2状态转移矩阵的计算一、直接计算法直接根据矩阵指数的定义式计算特点：步骤简便、编程简单，适合于计算机数值求解。缺点：采用手工计算时，因需对无穷级数求和，难以获得解析表达式。22

6、例3.3、已知　　　　　试求状态转移矩阵解：3.2状态转移矩阵23二、拉氏变换法齐次微分方程：3.2状态转移矩阵特点：当阶次较小时，计算方便。缺点：阶次较高时，不易求解逆矩阵。24例3.4已知系统状态方程为：试求状态转移矩阵和状态转移矩阵的逆。解：由状态方程可得：3.2状态转移矩阵253.2状态转移矩阵由状态转移矩阵的性质，有：26课堂测验试用拉普拉斯变换法求矩阵A的状态转移矩阵27解:283.2状态转移矩阵三、线性变换法1）若系统矩阵A为对角矩阵则有状态转移矩阵为：29若A非对角阵，但其特征值互异，则A可对角化即，存在一个变换矩阵为，有3.2状态转移矩阵对角矩阵因为：303.2状

7、态转移矩阵所以，有状态转移矩阵：31例3.5已知系统矩阵试求状态转移矩阵。3.2状态转移矩阵32解：该矩阵的特征方程为:矩阵A的三个互异特征值时3.2状态转移矩阵33即：解得：当　　　　时：即：解得：3.2状态转移矩阵34则：同理，当　　　时，有：3.2状态转移矩阵353.2状态转移矩阵362）系统矩阵A的特征值互异且为友矩阵,即：有变换矩阵3.2状态转移矩阵37例3.6已知系统状态方程为：试求状态转移矩阵　　。解：由系统状态方程可得：3.2状态转移矩阵①求特征根特征