线性系统的运动分析

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1、第二章线性系统的运动分析建立起系统的状态空间描述之后，可以利用这些描述来分析系统的运动行为，其分析方法主要包括定量分析和定性分析两种。在定量分析中，主要分析系统对给定输入的精确响应及其性质，其数学上的体现为状态方程解析形式的解。在定性分析中，则着重对决定系统行为和综合系统结构具有重要意义的几个关键性质，如可控性、可观测性和稳定性等，进行定性研究。本章以线性系统为对象，讨论系统的定量分析问题，指出系统的运动规律，阐明系统的运动性质，介绍系统的分析方法。12.1引言2.2线性定常系统的运动分析（※）2.3线性定常系统的状态转移矩阵（※）2.4线性时变系统

2、的运动分析（补充）第二章线性系统的运动分析22.1引言一．运动分析的数学实质线性系统的状态方程为：运动分析的目的：从系统数学模型出发，定量地和精确地定出系统运动的变化规律，以便为系统的实际运动过程做出估计。或数学实质：相对于给定的初始状态x0和外输入作用u，求解出状态方程的解x(t)，即由初始状态和外输入作用所引起的状态响应。3二．零输入响应和零状态响应线性系统满足叠加原理，利用该属性可把系统在初始状态和输入向量作用下的运动分解为两个单独的分运动，即由初始状态引起的自由运动和由输入作用引起的强迫运动。1.零输入响应零输入响应：指系统输入u为零时，由初

3、始状态x0单独作用所引起的运动。即状态方程的解，用表示。4零状态响应：指系统初始状态x0为零时，由系统输入u单独作用所引起的运动。即状态方程的解，用表示。2.零状态响应系统总的运动响应是零输入响应和零状态响应的叠加，即52.2线性定常系统的运动分析一．零输入响应输入u=0时，线性定常系统的状态方程：称为齐次状态方程。求线性定常系统的零输入响应，其实就是求该齐次状态方程的解。1.矩阵指数函数定义n×n的矩阵函数为矩阵指数函数。62.零输入响应由状态方程描述的线性定常系统的零输入响应的表达式为当时（即），线性定常系统的零输入响应为：7证：设齐次状态方程的

4、解为：其必满足状态方程，可得出由比较上列等式tk两边的系数向量，可定出待定向量为：解的表达式进而表为：令上式中t=0，则x(0)=b0，已知初始条件x(0)=x0，故b0=x083矩阵指数函数性质(1)(2)(3)令t和τ为两个自变量，则必成立(4)9设有n×n常阵A和F,如果A和F是可交换的，则必成立(6)(7)对给定方阵A，必成立10方法一：幂级数求和法直接利用矩阵指数函数的定义式计算，即其中：N可根据实际系统精度要求确定。4矩阵指数函数的计算方法（※）说明：该方法只能得到eAt的数值结果，一般不能写成闭合形式。实际计算时，可取前有限项给出近似结

5、果。如何求矩阵指数函数？11(1)当A为对角线矩阵，即时12(2)当A具有如下形式则A是零幂矩阵，即自乘若干次后化成零矩阵。应用矩阵指数函数定义，可得13推广可得(3)当A具有如下形式由矩阵指数函数定义，有14例2-1（例9-6）：求下列系统状态方程的解解：由于：，所以：得状态转移矩阵：状态方程的解为：15方法二：特征值特征向量法利用对角形变换求解当A的n个特征值两两互异时，确定矩阵P,化A为对角线标准形则有：16方法三：拉氏反变换法（※）对给定的n×n常阵A，（※）证明：状态方程取拉氏变换有：（sI-A）是系统特征矩阵，它是非奇异的，故有进行拉氏反

6、变换有：由系统状态方程的解(零输入响应)可知：17例2-2（※）（例9-7）：求下列状态方程的解解：系统的特征矩阵为:18因为：故：状态方程的解为：19二．零状态响应由状态方程所描述的线性定常系统的零状态响应的表达式为当时（即），线性定常系统的零状态响应为：20证：对上式从0至t进行积分，上式两边左乘eAt21三．线性定常系统的状态运动规律初始状态x0和外输入作用u共同作用下的状态方程或的解，可由零输入响应和零状态响应叠加而得出，即线性定常系统在初始状态和外输入同时作用下的状态运动的表达式为：或222.3线性定常系统的状态转移矩阵一．线性定常系统的状

7、态转移矩阵1．状态转移矩阵的定义对于给定的线性定常系统其中x为n维状态向量，称满足如下矩阵方程的n×n解阵为系统的状态转移矩阵。232.基本解阵的定义由方程的任意n个线性无关解所构成的n×n矩阵函数，称为方程的一个基本解阵。基本解阵具有如下性质：其中：H为非奇异实常值矩阵。线性定常系统的状态转移矩阵和系统的基本解阵间的一个基本关系式：24矩阵指数函数eAt有如下性质：，对任意t0，eAt为非奇异实值常阵，因此，eAt是的基本解阵，即有：将其代入，则有线性定常系统的状态转移矩阵为：当t0=0时，可将其表为即对于线性定常系统来说，它的状态转移矩阵就是矩阵

8、指数函数eAt。253．用状态转移矩阵表示的系统运动规律表达式或变量替换该形式更便于计算26二．线性定常系统