线性系统的运动分析

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1、3.1引言第三章线性系统的运动分析3.2线性定常系统的运动分析3.3线性时变连续系统的运动分析（介绍）小结3.4Matlab问题3.1引言分析分为定量分析和定性分析定量分析：对系统的运动规律进行精确的研究，即定量地确定系统由外部激励作用所引起的响应。定性分析对决定系统行为和综合系统结构具有重要意义的几个关键性质，如能控性、能观性、稳定性等。状态空间描述的建立为分析系统的行为和特性提供了可能性。进行分析的目的：揭示系统状态的运动规律和基本特性。运动分析的实质状态方程:x’=Ax+Bux(0)=x0t≥0分析：从数学模型出发，定量地和精确地定出系统运动的变化规律，为系统的实际运动

2、过程作出估计。数学：给定初始状态x0和外输入u作用，求解出状态方程的解。由初始状态和外输入作用所引起的响应。系统的运动是对初始状态和外输入作用的响应，但运动的形态主要是由系统的结构和参数所决定的，即由参数矩阵所决定的。状态方程的解x(t)给出了系统运动形态对系统的结构和参数的依赖关系。解的存在性和唯一性条件状态方程的满足初始条件的解存在且唯一时，对系统的运动分析才有意义。时变系统而言，矩阵A(t)和B(t)的所有元在时间定义区间[t0,ta]上均为t的实值连续函数，而输入的元u(t)在时间定义区间[t0,ta]上是连续实函数，则其状态方程的解x(t)存在且唯一。对于线性定常系

3、统：系数矩阵A和B均为常阵，只要其元的值为有限值，则条件满足，解存在且唯一。这些条件对于实际的物理系统总是能满足的，但从数学的观点而言，条件太强了，将其减弱为：①、②、③（P86）零输入响应和零状态响应线性系统满足叠加原理在初始状态和输入向量作用下的运动，分解为两个单独的分运动初始状态→自由运动。输入作用→强迫运动。自由运动：系统的自治方程的解，零输入响应；强迫运动：系统在零初始状态下的强迫方程x’=Ax+Butϵ[t0,ta]的解，零初态响应。x’=Axtϵ[t0,ta]在讨论一般线性定常连续系统的运动分析之前，先讨论线性定常齐次状态方程的解，以引入矩阵指数函数和状态转移矩

4、阵等概念。所谓齐次状态方程就是指状态方程中不考虑输入项(u(t)=0)的作用，满足方程解的齐次性。研究齐次状态方程的解就是研究系统本身在无外力作用下的自由(自治)运动。所谓非齐次状态方程就是指状态方程中输入项的作用，状态方程解对输入具有非齐次性。研究非齐次状态方程的解就是研究系统在外力作用下的强迫运动。3.2线性定常连续系统的运动分析3.2.1线性定常齐次状态方程的解齐次方程就是指满足解的齐次性的方程，即若x是方程的解，则对任意非零的实数a,ax亦是该方程的解。所谓齐次状态方程，即为下列不考虑输入的自治方程x’=Ax齐次状态方程满足初始状态对上述齐次状态方程,常用的常微分方程

5、求解方法有级数展开法和拉氏变换法2种。1.级数展开法在求解齐次状态方程式之前，首先观察标量常微分方程在初始时刻t0=0的解。该方程中x(t)为标量变量，a为常数。由常微分方程理论知，该方程的解连续可微。因此，该解经泰勒展开可表征为无穷级数，即有式中，qk(k=1,2,...)为待定级数展开系数。将所设解代入该微分方程，可得如果所设解是方程的真实解，则对任意t，上式均成立。因此，使t有相同幂次项的各项系数相等，即可求得令x(t)的解表达式中t=0，可确定q0=x(0)因此，x(t)的解表达式可写为上述求解标量微分方程的级数展开法，可推广至求解向量状态方程的解。为此，设其解为t的

6、向量幂级数,即x(t)=q0+q1t+q2t2+…+qktk+…式中，qk(k=1,2,...)为待定级数展开系数向量。将所设解代入该向量状态方程x’=Ax，可得q1+2q2t+3q3t2+…+kqktk-1+…=A(q0+q1t+q2t2+…+qktk+…)如果所设解是方程的真实解，则对任意t，上式均成立。因此，使t有相同幂次项的各项系数相等，即可求得若初始时刻t0=0，初始状态x(0)=x0，则可确定q0=x(0)=x0因此，状态x(t)的解可写为该方程右边括号里的展开式是n×n维矩阵函数。由于它类似于标量指数函数的无穷级数展开式，所以称为矩阵指数函数，且记为利用矩阵指数

7、函数符号，齐次状态方程的解可写为：x(t)=eAtx02．拉氏变换法若将对标量函数拉氏变换的定义扩展到向量函数和矩阵函数，定义对向量函数和矩阵函数的拉氏变换为分别对该向量函数和矩阵函数的各个元素求相应的拉氏变换，那么可利用拉氏变换及拉氏反变换的方法求解齐次状态方程的解。对该齐次状态方程，设初始时刻t0=0且初始状态x(t)=x0，对方程两边取拉氏变换，可得sX(s)-x0=AX(s)于是可求得该齐次状态方程的解x(t)的拉氏变换为X(s)=(sI-A)-1x0对上式取拉氏反变换,即得齐次状态方程的解为x