《2.3圆的切线的性质及判定定理》课件3

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1、第3课时　圆的切线的性质及判定定理【课标要求】1．理解切线的性质定理、判定定理及两个推论，能应用定理及推论解决相关的几何问题．2．能归纳并正确表述由圆的切线性质定理和两个推论整合而成的定理．【核心扫描】1．圆的切线的判定定理、性质定理的理解．(重点)2．用切线的判定定理、性质定理解决问题．(难点)自学导引1．圆的切线的性质定理及推论(1)定理：圆的切线垂直于经过切点的．(2)推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过．(3)推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过．半径切点圆心推敲引申：(1)本定理及其两个推论可以用一个定理叙述出来，即：如果圆的一条直线满足以下三个条件中的任意两条，那

2、么就一定满足第三条．它们是：①垂直于切线；②过切点；③过圆心．(2)本定理题设为：一条直线既过圆心又过切点，结论为：这条直线与圆的切线垂直．如图所示，若直线l切⊙O于A，直线l′经过点O、A，则直线l′⊥l.2．圆的切线的判定定理(1)判定定理：经过半径的外端并且垂直于的直线是圆的切线．(2)圆的切线的判断方法这条半径判断方法语言描述①定义法和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线②数量关系法圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线③切线的判定定理过半径的外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线推敲引申：(1)圆的切线的判定定理还可表述为：如果一条直线经过圆的一条半径的外端点，并且垂直于这

3、条半径，那么这条直线就是这个圆的切线．(2)判断一条直线是否是切线的三种方法中：②③是由①推出的；②是用数量关系来判断；③是用位置关系来判断．名师点睛1．直线与圆的位置关系的性质和判定如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么(1)直线l和⊙O相交⇔dr(如图(3)所示)．说明：(1)命题左边反映的是两个图形(直线和圆)的位置关系，右边反映的是两个数量的大小关系．(2)对于两个图形(直线l和⊙O)的位置关系，或两个数(d和r)的大小关系，有且仅有一种情况是成立的．(3)从左端

4、推出右端是直线和圆的位置关系的性质，从右端推出左端是直线和圆的位置关系的判定．2．圆的切线的性质与判定的综合运用在解决有关圆的切线问题(无论是计算还是证明)时，通常需要添加辅助线．一般地，添加辅助线有以下规律：(1)已知一条直线是圆的切线时，通常连接圆心和切点，这条半径垂直于切线．(2)要证明某条直线是圆的切线时，若已知直线经过圆上的某一点，则需作出经过这一点的半径，证明直线垂直于这条半径，简记为“连半径，证垂直”；若直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，得到垂线段，再证明这条垂线段的长等于半径，简记为“作垂直，证半径”．题型一　圆的切线的判断【例1】如图所示，在△ABC

5、中，已知AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC于点E.求证：DE是⊙O的切线．[思维启迪]利用圆的切线的判定定理进行切线的证明，关键是找出定理的两个条件：①过半径的外端；②该直线与某一条半径所在的直线垂直．证明连接OD和AD，如图所示．∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC.∵AB＝AC，∴BD＝CD.∵AO＝OB，∴OD∥AC.∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线．反思感悟判断一条直线是圆的切线时，常用辅助线的作法①如果已知这条直线与圆有公共点，则连接圆心与这个公共点，设法证明连接所得到的半径与这条直线垂直，简记为“连半径，证垂直”；②若题目未说明这条直线与圆有

6、公共点，则过圆心作这条直线的垂线，得垂线段，再证明这条垂线段的长等于半径，简记“作垂直，证半径”．【变式1】如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，且AD＋BC＝AB，AB为⊙O的直径．求证：⊙O与CD相切．题型二　圆的切线性质定理的应用【例2】如图所示，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P是OA上任意一点，BP的延长线交⊙O于Q，过Q作⊙O的切线交OA的延长线于R，求证：RP＝RQ.[思维启迪]已知QR是⊙O的切线，可利用切线的性质定理，即OQ⊥RQ.另外，要证RP＝RQ，只要证∠RPQ＝∠RQP即可，只要证∠BPO＝∠PQR即可，再结合OQ⊥RQ.证明连接OQ

7、.因为QR是⊙O的切线，所以OQ⊥QR.因为OB＝OQ，所以∠B＝∠OQB.因为BO⊥OA，所以∠BPO＝90°－∠B＝∠RPQ，∠PQR＝90°－∠OQP.所以∠RPQ＝∠PQR.所以RP＝RQ.反思感悟题目中若有圆的切线，首先可以连接圆心和切点，出现垂直关系．【变式2】如图所示，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AD是弦，过点B的切线与AD的延长线交于点C，且AD＝DC，求∠ABD的度数．解∵BC是⊙O的切线，∴AB⊥BC.∴△ABC是直角三角形．∵CD＝A