圆的切线的性质及判定定理

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1、圆的切线的性质及判定定理.OBAOrM观察与思考问题1：下雨天，转动的雨伞上的水滴是顺着伞的什么方向飞出去的?问题2：砂轮转动时，火花是沿着砂轮的什么方向飞出去的?切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．1.经过半径的外端；2.与半径垂直．应用格式(几何语言):AOB如图,在⊙O中，经过半径OA的外端点A作直线,且⊥OA.则圆心O到直线　的距离是多少？直线和⊙O有什么位置关系？根据作图,直线是⊙O切线满足两个条件：∵OA⊥∴是⊙O的切线.下面两个反例说明只满足其中一个条件的直线不是圆的切线：定理说明：题设是“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，结论为“

2、直线是圆的切线”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.O.AO.AB已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。求证：直线AB是⊙O的切线。OBAC分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明AB⊥OC即可。证明：连结OC(如图)。∵OA＝OB,CA＝CB,∴三角形OAB是等腰三角形，OC是底边AB上的中线。∴AB⊥OC(三线合一)∵OC是⊙O的半径∴AB是⊙O的切线。切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．AO.如图,如果直线是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA与直线是不是一定垂直呢？M反证法这与线圆相切矛盾.假设不垂直,作OM⊥因“垂线段最短”

3、,故OA>OM,即圆心到直线距离小于半径.几何语言：∵是⊙O的切线，∴OA⊥.1、如图，AB是⊙O的直径，∠ABT=45°，AT=AB，求证：AT是⊙O的切线。O.ATB2、如图，AB是⊙O的直径，直线L1、L2是⊙O的切线，A、B是切点，L1、L2是怎样的位置关系？证明你的结论。BO.AL1L2应用：1.如图，AB是⊙O的直径,⊙O过BC的中点D，DE⊥AC.求证：DE是⊙O的切线．AODECB证明：连接OD．∵BD＝CD，OA=OB,∴OD是△ABC的中位线.∴OD//AC.∴∠DEC＝∠ODE又∵∠DEC＝90°,∴∠ODE＝90°.∴OD⊥DE.∴DE是⊙O的切线.2.如

4、图，AB是⊙O的直径,C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D.求证：AC平分∠DAB．AODCB证明：连接OC．∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD.又∵AD⊥CD,∴OC//AD.∴∠ACO＝∠CAD.又∵OC=OD,∴∠CAO＝∠ACO∴∠CAD＝∠CAO,故AC平分∠DAB．3.如图A是⊙O外的一点，AO的延长线交⊙O于C，直线AB经过⊙O上一点B，且AB＝BC，∠C＝30°.求证：直线AB是⊙O的切线.证明：连结OB,∵OB=OC,AB=BC,∠C=30°∴∠OBC=∠C=∠A=30°∴∠AOB=∠C+∠OBC=60°∴∠ABO=180°－(∠AOB+∠A)=1

5、80°－(60°+30°)=90°∴OB⊥AB.∴AB是⊙O的切线.题目中“半径”已有，只需证“垂直”,即可得直线与圆相切.DCAB.O300300600600600分析:如图4.已知：如图，AB是⊙O的直径，D在AB的延长线上，BD＝OB，C在圆上，∠CAB＝30°,求证：DC是⊙O的切线.已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径作⊙O。求证：⊙O与AC相切。OABCED证明：过O作OE⊥AC于E。∵AO平分∠BAC，OD⊥AB∴OE＝OD∵OD是⊙O的半径∴AC是⊙O的切线。课堂小结一判定一条直线是圆的切线有三种方法1根据定义直线与圆有唯一的公共

6、点2根据判定定理3，根据圆心到直线的距离等于半径二添辅助线的方法则连接圆心与交点则过圆心作直线的垂线段1，已知直线与圆有交点，2，没有明确的公共点，“有点连圆心，无点作垂线！”1.AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,切点为B,OC平行于弦AD.求证:DC是⊙O的切线.AOBCD1324变式2:如图,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,⊙O与腰AB相切于点D,求证:AC与⊙O相切.已知:三角形ABC内接于⊙O,过点A作直线EF.(1)图甲,AB为直径,要使得EF是⊙O切线,还需添加的条件(只需写出三种情况)①___________②_____________③________

7、______.(2)图乙,AB为非直径的弦,∠CAE=∠B.求证:EF是⊙O的切线.∠CAE=∠BAB⊥FE∠BAC+∠CAE=90°H6.如图所示，半径为2的P的圆心在直线上运动.⑴当P和轴相切时，写出点P的坐标；⑵当P和轴相切时，写出点P的坐标；⑶P是否能同时与x轴和y轴相切？若能，写出点P的坐标；若不能，说明理由.5.如图，P的半径为2，圆心P在函数的图象上运动，当P与x轴相切时，点P的坐标为.4填空题：⑴在直角坐标系中，M的圆心坐标是，半径是2，如果M与y