几何定理证明

《几何定理证明》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、几何定理证明1、重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。该点叫做三角形的重心。先证明交于一点，如图一中线AD、BE交于G，延长CG交AB于F，即证明F为AB中点即可，延长GD至H使GD=DH，又BD=DC∴BDCG为平行四边形，∴BE∥CH，CF∥BH，又E为AC中点，EG为中位线，∴G为AH中点，又CF∥BH，∴FG为中位线，即F为AB中点，∴三条中线交于一点。再证明2倍问题证明1：如图：△ABC的中线AD、BE交于G（重心），求证：AG＝2GD取CE的中点F，连接DF，则CE＝2E

2、F＝AE，∴DF是△BCE的中位线，∴GE∥DF，AG／GD＝AE／EF＝2，∴AG＝2GD。证明2：面积法（三条中线将三角形分成6个面积相等的三角形）△ABC，AB、BC、CA中点分别为D、E、F，交于一点G。∵D、E、F为中点∴S△CAD=S△CDB=S△ABE=S△ACE=S△ABF=S△BCF=S△ABC／2∴S△ADG=S△CEG=S△BEG同理S△BDG=S△BEG∴S△ABG=2S△BEG∴AG／GE=2即AG=2GE证明3：相似三角形△ABC，AB、BC、CA中点分别为D、E、F，交于一点G。∴DF//BC

3、，DF=BC/2①（中位线定理）。∴△ADF∽△ABC,E为BC中点，∴H为DF中点（可证AH/AE=DH/BE=HF/EC,BE=EC,∴DH=HF)∴HF=DF/2,BE=BC/2，又可由①知HF=BE/2∴HF//BE.又∵∠BGE=∠FGH。∴△BGE∽△FGH∴BG/GF=BE/HF=2。∴BG=（2/3）BF2、外心定理：三角形的三条中垂线一定交于一点，称之为三角形的外心，之所以称之为三角形的外心，是因为它是三角形外接圆的圆心。已知：如图8-21所示，PD、NE、MF是△ABC的3条边上的中垂线。求证：PD、N

4、E、MF交于一点O。思路：先作两条边AB、AC上的中垂线MF、NE相交于O点，过O作OD⊥BC于D，其反向延长线与AB交于P。然后再证明D是BC的中点。证明：作AB、BC边上的中垂线MF、NE相交于O点，过O作OD⊥BC于D，其反向延长线与AB交于P。∵MF⊥AB于F，AF=FB；∴OA=OB；∵NE⊥AC于E，AE=EC；∴OA=OC；∴OB=OC；∵OD⊥BC于D；∴POD是BC边上的中垂线。∴NE、MF、PD交于一点O；即，三角形的三条中垂线交于一点。结论：该证法采用直接证法，简单明了，其中运用了中垂线的性质定理和判

5、定定理。3、垂心定理：三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。证明1：已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点H，连接CH并延长交AB于点F，求证：CF⊥AB　证明：连接DE∵∠ADB=∠AEB=90度∴A、B、D、E四点共圆∴∠ADE=∠ABE∵∠EAH=∠DAC∠AEH=∠ADC　∴ΔAEH∽ΔADC　　∴AE/AH=AD/AC∴ΔEAD∽ΔHAC∴∠ACF=∠ADE=∠ABE　　又∵∠ABE+∠BAC=90度　∴∠ACF+∠BAC=90度∴CF⊥AB　　因此，垂心定理成立证明2：（利用

6、外心定理来证明），如图过A、B、C分别做BC、AC、AB的平行线相交于A'、B'、C',∵AD⊥BC，B'C'//BC∴DA⊥B'C'∵B'C'//BC，A'C'//AC∴四边形BCAC'与四边形BCAB'为平行四边形∴AC'=AB'即A为B'C'中点，又DA⊥B'C'∴DA为B'C'中垂线同理可证EB、CF为A'C'、A'B'中垂线∴AD、BE、CF交于一点（外心定理）4、内心定理：三角形的三内角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心。内心到三角形三边等距，即为三角形内切圆的圆心。如图，已知：ΔABC中，AI、BI是∠A、

7、∠B的角平分线，ID⊥BC，IE⊥AC,IF⊥AB，求证：∠ACI=∠BCI，IE=IF=ID证明：∵AI是∠A的角平分线、∴∠IAC=∠IAB∵IE⊥AC,IF⊥AB∴∠IEA=∠IFA=90°又IA=IA∴△AIE≌△AIF∴IE=IF同理可证IF=ID即IE=IF=ID∵ID⊥BC，IE⊥AC∴∠IEC=∠IDC=90°又IC=IC∴△CIE≌△CID∴∠ECI=∠DCI即∠ACI=∠BCI5、旁心定理：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。该点叫做三角形的旁心。三角形有三个旁心。如图，已知OC、OB

8、为ΔABC中∠C、∠B的外角平分线，连接OA，证明:∠OAC=∠OAB证明：作OD⊥AB、OE⊥AC、OF⊥BC∵OC、OB为∠BCE、∠CBD的平分线，OF⊥BC，OE⊥AC∴OE=OF,同理OF=OD∴OE=OD，又OD⊥AB、OE⊥AC，OA=OA∴ΔAEO≌ΔOAD∴∠OAC=∠OAB6、中位线