线性代数第五章(第二讲)

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1、第五章相似矩阵与二次型第二节相似矩阵一、相似矩阵的定义二、相似矩阵的性质三、方阵的对角化1一、相似矩阵的定义定义1：设A,B都是n阶方阵，若存在可逆阵，使得则称B是A的相似矩阵，又由于：则也称A是B的相似矩阵，对A作运算，称为对A作进行相似变换，可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵。或者称A与B相似；或者称B与A相似；2二、相似矩阵的性质证明:定理1：若n阶矩阵A与B相似，则A与B的特征多项式相同，从而A与B的特征值亦相同。[证毕]3推论：若n阶方阵A与对角阵相似，则也是方阵A的n个特征值。证明：n阶方阵A与对角阵相似方阵A与对角阵的特征值

2、相同是对角阵的n个特征值。又也是方阵A的n个特征值。[证毕]4k个利用对角矩阵计算矩阵多项式：5利用上述结论可以很方便地计算矩阵A的多项式.6证明：三、方阵的对角化定义3：对于方阵A，若可逆则称方阵A可对角化。定理2：n阶方阵A与对角阵相似(即A能对角化)A有n个线性无关的特征向量n阶方阵A与对角阵相似(即A能对角化)可逆P可逆P可逆P7可逆P可逆P是方阵A特征值，是方阵A的特征值的特征向量。由于P可逆，推论：如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等，则A与对角阵相似。说明：如果的特征方程有重根，此时不一定有个线性无关的特征向量，从而矩阵不一定能对

3、角化，但如果能找到个线性无关的特征向量，还是能对角化．[证毕]线性无关。方阵A的n个特征向量8,求A能否对角化？若能对角化，例1：解:则求出可逆矩阵P使为对角阵。(1).当时，对应方程组的基础解系为：(2).当时，对应方程组的基础解系为：9所以可对角化.注：即矩阵的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应．10第五章相似矩阵与二次型第三节对称矩阵的相似矩阵一、对称矩阵的性质二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化11定理1对称矩阵的特征值为实数.证明：说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明，均指实对称矩阵．一、对称矩阵的性质设为A的特征值,和12设

4、，则又至少或者为实数。13证明A为对称阵14证明它们的重数依次为根据定理1（对称矩阵的特征值为实数）和定理3(如上)可得：设的互不相等的特征值为15由定理2知对应于不同特征值的特征向量正交，这样的特征向量共可得个.故这个单位特征向量两两正交.以它们为列向量构成正交矩阵，则16根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为：将特征向量正交化;3.将特征向量单位化.4.2.1.二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化17解例对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵，使为对角阵.(1)第一步求的特征值18解之得基础解系解之得基础解系19解之得基

5、础解系第三步将特征向量正交化第四步将特征向量单位化20212223于是得正交阵24练习题：1.设三阶实对称矩阵A的特征值为0,2,2，又相应于特征值0的特征向量为，求相应于特征值2的全部特征向量。解：因为0,2是对称矩阵A的两个不同的特征值,为对应的特征向量.正交，即:设，则：基础解系为：A的特征值为2所对应的全部特征向量为：252.设三阶方阵A的特征值为对应的特征向量分别为求矩阵A.解：两两正交将单位化，得：令：，则为正交阵，且26