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《线性代数第五章习题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第五章相似矩阵及二次型一、判断题1.线性无关的向量组必是正交向量组.（）2.止交矩阵的列向量组和行向量组都是单位止交向量组.（）3.正交矩阵一定是口J逆矩阵.（）4.若n阶矩阵A与B相似，则A与3不一定等价.（）5.若几阶矩阵A冇n不同的特征值，则A相似于对角矩阵.（）6•实对称矩阵一定可以相似对角化.（）7.相似矩阵的行列式必相同.（）8•若几阶矩阵A和3相似，则它们一定有相同的特征值.（）9•斤阶实对称矩阵A的属于两个不同特征值的两个特征向量一定正交.（）10•若A是正定矩阵，则A的特征值全为正.（）二、单项选择题‘001、1.设A二010
2、，则A的特征值是（）.J00丿（A）-1,1,1（B）0,1,1（C）-1,1,2（D）1,1,22.若占入分别是方阵人的两个不同的特征值对应的特征向量，则kg+k2x2也是A的特征向量的充分条件是（）・（A）代=0且&=0（B）k^O且©HO（C）卒2=0⑴）且心=03.若n阶方阵A,B的特征值相同，则（）・（A）A=B⑻
3、A冃（C）A与B相似（D）A与B合同4.设人为阶可逆矩阵，2是人的特征值，则才的特征根之一是（）.（A）r11Ar（B）r1
4、A
5、（C）AA（D）AA5.矩阵A的属于不同特征值的特征向量（）・（A）线性相关（B）
6、线性无关（0两两相交（D）其和仍是特征向量6.冃B
7、是斤阶矩阵4与B相似的（）.（A）充要条件（B）充分而非必要条件(0必要而非充分条件(D)既不充分也不必要条件1.若n阶方阵A与某对角阵相似，则().(A)心)"(B)4有斤个不同的特征值(0A有斤个线性无关的特征向量(D)人必为对称阵2.比阶对称矩阵4正定的充分必要条件是()•⑷
8、A
9、>0(B)存在矩阵C,使A=CTC(0负惯性指数为零(D)各阶顺序主了式为止3.设A为n阶方阵，则下列结论正确的是()・(A)A必与一对角阵合同(B)若A的所冇顺序主子式为正，则A正定(C)若A与正定阵B合同，
10、则A正定(D)若A与一•对角阵相似，则A必与一对角阵合同10・设A为正定矩阵,则下列结论不正确的是().(A)A可逆(B)犷止定(C)A的所有元索为正(D)任给X=(心七,。0,均冇XtAX>0二、填空题1.n阶零矩阵的全部特征值为•2.若A2=A,则A的全部特征值为3.设三阶矩阵A的特征值分别为-1,0,2,则行列式+A+/卜4.特征值全为1的正交阵必是阵.5.2231相似与=B,贝ijx二6.二次型f(xl,x2,x3,)=x{x24-2x2x34-xj的秩为•7•若/(xpx2,x3)=2彳+兀；+兀；+2x}x2+tx2x3止定，则t的
11、取值范围是‘110、8•设1a0是正定矩阵，则。满足条件•卫0心9.二次型/(%1,x2)=x1x2的负惯性指数是・(3Vx、10.二次型(x1?x2)、c1的矩阵为•三、计算与证明题1.试用施密特法把下列向量组正交化:<111、(1)(吗卫2，。3)=124;1139丿(11-1]⑵(坷4卫3)=J}¥[・I110丿2・下列矩阵是不是正交阵：A7z(、1-31-221-3c32)1-98-94-98-91-94-94-94-97-93・设兀为斤维列向量，xTx=l,令H=E-2xx证明H是对称的正交阵.4.设A与B都是斤阶正交阵，证明也
12、是正交阵.5.求下列矩阵的特征值和特征向量：f2-12)(1)5-33;1-10—2丿(2)213;(0001)00102丿0100•(1000丿4.设A为“阶矩阵，证明与A的特征值相同.5.设〃阶矩阵A、B满足R(A)+R(B)13、A3-5A2+7A
14、.10.已知3阶矩阵A的特征值为
15、1,2,-3,求
16、A*+3A+2E
17、.B.设A、B都是"阶矩阵，且4可逆，证明4B与BA相似.(10\14.设矩阵A=31x可相似对角化，求兀〔405丿(2_12)15.已知尸(1,1,-1)了是矩阵5a3的一个特征向量.1一1b-2)(1)求参数a,b及特征向量p所对应的特征值；(2)问4能不能相似对角化？并说明理由.16.试求一个正交的相似变换矩阵，将下列对称阵化为对角阵：2-20⑴-21-2<0-20,<22-2、⑵25-4（一2-45(1-2-4>17.设矩阵4-2x-21-4-21丿[5与人=、相似，求x,y;并求一y)个正交阵只使
18、P~]AP=A.18.设3阶方阵A的特征值为入=2，人=-2,禺=1；对应的特征向量依次为刃=(0,1,1)仆2=(1,1,1)1仞=(1,1,0)1
