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1、引例主要内容特征值与特征向量的概念特征值与特征向量的求法特征值与特征向量的性质第二节特征值与特征向量方程组等问题，也都要用到特征值的理论.工程技术中的一些问题，如振动问题和稳定性问题，常可归结为求一个方阵的特征值和特征向量的问题.数学中诸如方阵的对角化及解微分一、引例作下面的乘法得引例设只是原像的倍数.我们可以从映射的角度看待上述运算，即由二阶实矩阵A定义了一个由全体二元实向量集合R2到R2自身的一个映射，它的对应法则aR2AaR2.在此映射下，二元实向量a1，a2的像Aa1，Aa2为：向量有些什么性质？从几何上看，像与原像在一条直线上，而向量a3的像Aa3就不具有这个性质.
2、我们把a1，a2称为矩阵A的特征向量，数-1与3分别称为a1，a2对应的特征值.那么，是否任何一个方阵都有特征值与特征向量？特征值与特征题.这是本节要讨论的主要问量.二、特征值与特征向量的概念定义6设A是n阶矩阵，如果数和n维非零列向量x使关系式Ax=x（1）成立，那么，这样的数称为方阵A的特征值，非零向量x称为A的对应于特征值的特征向1.定义
3、A-E
4、=0，即（1）式也可写成(A-E)x=0，（2）这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充要条件是系数行列式值.上式是以为未知数的一元n次方程，称为方阵A的特征方程.其左端
5、A-E
6、是的n次多项式，记作f(
7、),称为方阵A的特征多项式.显然，A的特征值就是特征方程的解.特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重根按重数计算），因此，n阶方阵A有n个特征2.特征值的性质(2)12···n=
8、A
9、.设1,2,···,n是n阶方阵A=(aij)的n个特征值(k重特征值算作k个特征值),则(1)1+2+···+n=a11+a22+···+ann;特征向量.三、特征值与特征向量的求法求矩阵A的特征值与特征向量的步骤如下：Step1：计算A的特征多项式，并求出特征方程的所有根.设矩阵A有s个不同的特征值1,2,···,s.Step2:对A的每个特征值i(i=1,2,
10、···,s),求解齐次线性方程组(A-iE)x=0，该方程组的全部解即为矩阵A的对应于i的全部例7设矩阵求A的特征值与特征向量.例8设矩阵求A的特征值与特征向量.例9设矩阵求A的特征值与特征向量.例10设矩阵A为对合矩阵(即A2=E),且A的特征值都是1,证明:A=E.例11设是方阵A的特征值.(1)证明k是Ak的特征值(k为正整数);(2)设=a0+a1+···+amm,A=a0E+a1A+···+amAm,证明是A的特征值.pm线性无关.定理2设1,2,···,m是方阵A的m个特征值,p1,p2,···,pm依次是与之对应的特征向量.如
11、果1,2,···,m各不相等,则p1,p2,···,四、特征值与特征向量的性质例12设A为可逆矩阵,为A的特征值,p为对应的特征向量,证明:为A-1与A的特征值,p分别为A-1与A对应的特征向量.分别例13设三阶矩阵A的特征值为设矩阵(1)B的特征值;(2)
12、B
13、.试求:例14设1,2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量依次为p1,p2,证明p1+p2不是A的特征向量.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内
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