解析函数的高阶导数

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1、§3.4解析函数的高阶导数一、高阶导数定理二、柯西不等式三、刘维尔定理一、高阶导数定理分析则由柯西积分公式有又……如果函数在区域D内解析，在上连续，一、高阶导数定理定理如果函数在区域D内解析，在上连续，则的各阶导数均在D上解析，证明(略)意义解析函数的导数仍解析。应用推出一些理论结果。反过来计算积分且P71定理3.9(进入证明?)解例计算解P73例3.12部分(1)令解例计算则(复合闭路定理)C2C1C2i-i如图，作C1,C2两个小圆，记为解例计算C2C2-iC1i(2)(高阶导数公式)同样可求

2、得(3)二、柯西不等式定理设函数在内解析，且则(柯西不等式)证明函数在上解析，令即得P73定理3.10三、刘维尔定理定理设函数在全平面上解析且有界，则为一常数。设为平面上任意一点，证明函数在上解析，且根据柯西不等式有令即得由的任意性，知在全平面上有则为一常数。P74定理3.11证(1)任取正数则函数在内解析，由高阶导数公式有(注意在上的性态不知道)证(1)(2)由有证(2)(1)(3)令得证(1)由于在内解析，根据高阶导数定理可得在内，也解析；(2)由可得在内，，在内解析；(3)根据柯西积分公式有

3、证(4)由即得证(反证法)则函数在全平面上解析，设函数其中，n为正整数，例(代数基本定理)证明方程在全平面上至少有一个根。假设在全平面上无根，即又故在全平面上有界，根据刘维尔定理有(常数)，(常数)，与题设矛盾。休息一下……附：高阶导数定理的证明定理如果函数在区域D内解析，在上连续，则的各阶导数均在D上解析，且证明由函数在上连续，有在上有界，即设边界C的长度为L。(1)先证的情形，即证附：高阶导数定理的证明证明(1)先证的情形，即证根据柯西积分公式有附：高阶导数定理的证明证明(1)先证的情形，即证

4、记为下面需要证明：当时，附：高阶导数定理的证明证明(1)先证的情形，即证dDCz0如图，设d为z0到C的最短距离，取适当小，使其满足则即得即由于前面已经证明了解析函数的导数仍是解析函数，附：高阶导数定理的证明证明(2)对于的情形因此将作为新的函数，用同样的方法求极限：即可得(3)依此类推，则可以证明(返回)