《3.7 点到平面的距离》教案

《《3.7 点到平面的距离》教案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、《3.7点到平面的距离》教案求点到平面的距离是立体几何教学中不可忽视的一个基本问题，是近几年高考的一个热点．本文试通过对一道典型例题的多种解法的探讨，结合《立体几何》(必修本)中的概念、习题，概括出求点到平面的距离的几种基本方法．例已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在平面，且GC＝２，求点B到平面EFG的距离．一、直接通过该点求点到平面的距离１．直接作出所求之距离，求其长．解法1．如图1，为了作出点B到平面EFG的距离，延长FE交CB的延长线于M，连结GM，作BN

2、⊥BC，交GM于N，则有BN∥CG，BN⊥平面ABCD．作BP⊥EM，交EM于P，易证平面BPN⊥平面EFG．作BQ⊥PN，垂足为Q，则BQ⊥平面EFG．于是BQ是点B到平面EFG的距离．易知BN＝，BP＝，PN＝，由BQPN＝PBPN，得BQ＝．图1图22．不直接作出所求之距离，间接求之．（１）利用二面角的平面角．课本P42第4题，P46第2题、第4题给出了“二面角一个面内的一个点，它到棱的距离、到另一个面的距离与二面角的大小之间所满足的关系”．如图2，二面角M-CD-N的大小为，A∈M，AB⊥CD，AB＝a

3、，点A到平面Ｎ的距离AO＝d，则有d=asin①①中的也就是二面角的大小，而并不强求要作出经过AB的二面角的平面角．解法2．如图3，过B作BP⊥EF，交FE的延长线于P，易知BP＝，这就是点B到二面角C-EF-G的棱EF的距离．连结AC交EF于H，连结GH，易证∠GHC就是二面角C-EF-G的平面角．∵ GC＝2，AC＝4，AH＝，∴ CH＝３，GH＝，sin∠GHC＝2/，于是由①得所求之距离d＝BPsin∠GHC＝·＝．解略．（２）利用斜线和平面所成的角．如图4，OP为平面α的一条斜线，A∈OP，OA＝l，

4、OP与α所成的角为θ，A到平面α的距离为d，则由斜线和平面所成的角的定义可知，有d＝lsinθ．②经过OP与α垂直的平面与α相交，交线与OP所成的锐角就是②中的θ，这里并不强求要作出点A在α上的射影B，连结OB得θ．解法3．如图5，设M为FE与CB的延长线的交点，作BR⊥GM，R为垂足．又GM⊥EB，易得平面BER⊥平面EFG，ER为它们的交线，所以∠REB就是EB与平面EFG所成的角θ．由△MRB∽△MCG，可得BR＝，在Rt△REB中，∠B＝９０°，BR＝，EB＝2，所以sinθ＝BR/ER＝，于是由②得所

5、求之距离d＝．图5图6（3）利用三棱锥的体积公式．解法4．如图6，设点B到平面EFG的距离为d，则三棱锥B-EFG的体积B＝()S△EFGd．另一方面又可得这个三棱锥的体积V＝()S△FEBCG，可求得S△FEB＝()S△DAB＝2，Ｓ△EFG＝，所以有··d＝·2·2，得d＝．二、不经过该点间接确定点到平面的距离１．利用直线到平面的距离确定解法5．如图7，易证BD∥平面EFG，所以BD上任意一点到平面EFG的距离就是点B到平面EFG的距离．由对称思想可知，取BD中点O，求点O到平面EFG的距离较简单．AC交E

6、F于H，交BD于O．易证平面GHC⊥平面EFG，作OK⊥HG，K为垂足，OK＝为所求之距离．图7图8２．利用平行平面间的距离确定如图8，把平面EFG补成一个正四棱柱的截面所在的平面，可使题设中的点、线、面之间的位置关系更加明朗．面GMT是正四棱柱ABCD-A1B1GD1经过F、E、G的截面所在的平面．MG交BB1于N，TG交DD1于Q，作BP∥MG，交CG于P，连结DP，则有平面GTM∥平面PDB．它们之间的距离就是所求之距离．于是可以把点B平移到平面PDB上任何一个位置，哪里方便就在哪里求．这两个平行平面的距

7、离d又同三棱柱GQN-PDB的体积有关，所以也可以利用三棱柱的体积确定所求之距离．据此可得解法6．解法6．三棱柱GQN-PDB的体积V＝S△PDB·d，另一方面又有V＝S△CDB·BN，可求得BN＝，CP＝，PB＝PD＝，BD＝，S△PDB＝，S△CDB＝8，所以·d＝8×23，得d＝为所求之距离．