n 选修4系列（文科）

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1、N选修4系列N1选修4-1几何证明选讲22．N1[2012·辽宁卷]如图1－8，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连结DB并延长交⊙O于点E，证明：(1)AC·BD＝AD·AB；(2)AC＝AE.图1－822．证明：(1)由AC与⊙O′相切于A，得∠CAB＝∠ADB，同理∠ACB＝∠DAB，所以△ACB∽△DAB.从而＝，即AC·BD＝AD·AB.(2)由AD与⊙O相切于A，得∠AED＝∠BAD，又∠ADE＝∠BDA，得△EAD∽△ABD.从而＝，即AE·BD＝AD·AB.结合(1)的结论，得AC＝AE.22．

2、N1[2012·课标全国卷]如图1－5，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点．若CF∥AB，证明：(1)CD＝BC；(2)△BCD∽△GBD.图1－522．证明：(1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC.又已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD＝AD.而CF∥AD，连结AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CD＝AF.因为CF∥AB，所以BC＝AF，故CD＝BC.(2)因为FG∥BC，故GB＝CF.由(1)可知BD＝CF，所以GB＝BD.而∠DGB＝∠EFC＝∠DBC

3、，故△BCD∽△GBD.12．N1[2012·全国卷]正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝.动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为(　　)A．8B．6C．4D．312．B　[解析]本小题主要考查反射原理及三角形相似知识的应用，解题的突破口为确定反射后点P的位置．结合点E、F的位置进行作图推理，利用反射过程中平行直线及相似三角形作图可得点P回到E点时与正方形的边碰撞次数为6次，故选B.15．N1[2012·广东卷](几何证明选

4、讲选做题)如图1－3所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∠PBA＝∠DBA.若AD＝m，AC＝n，则AB＝________.图1－315.　[解析]本题考查弦切角定理以及三角形相似知识，解决本题的突破口是利用弦切角定理得到∠PBA＝∠ACB，再利用三角形相似求出．因为PB是圆的切线，所以∠PBA＝∠ACB.又因为∠PBA＝∠DBA，所以∠DBA＝∠ACB.又因为∠A＝∠A，所以△ABD∽△ACB，所以＝，所以AB2＝AD×AC＝mn，所以AB＝.21A．N1[2012·江苏卷]如图1－7，AB是圆O的直径，D，E为圆O上位于AB异侧

5、的两点，连结BD并延长至点C，使BD＝DC，连结AC，AE，DE.求证：∠E＝∠C.图1－721A.证明：如图，连结OD，因为BD＝DC，O为AB的中点，所以OD∥AC，于是∠ODB＝∠C.因为OB＝OD，所以∠ODB＝∠B.于是∠B＝∠C.因为点A，E，B，D都在圆O上，且D，E为圆O上位于AB异侧的两点，所以∠E和∠B为同弧所对的圆周角，故∠E＝∠B.所以∠E＝∠C.15B.N1[2012·陕西卷]如图1－6，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB＝6，AE＝1，则DF·DB＝________.图1－615B：

6、5　[解析]本题考查了射影定理的知识，解题的突破口是找出直角三角形内的射影定理．连接AD，在Rt△ABD中，DE⊥AB，所以DE2＝AE×EB＝5，在Rt△EBD中，EF⊥DB，所以DE2＝DF×DB＝5.13．N1[2012·天津卷]如图1－3所示，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF＝3，FB＝1，EF＝，则线段CD的长为________．图1－313.　[解析]由相交弦的性质可得AF×FB＝EF×FC，∴FC＝＝＝2，又∵FC∥BD，∴＝＝＝，即BD

7、＝，由切割线定理得BD2＝DA×DC＝4DC2，解之得DC＝.N2选修4-2矩阵21B．N2[2012·江苏卷]已知矩阵A的逆矩阵A－1＝，求矩阵A的特征值．21B．解：因为A－1A＝E，所以A＝(A－1)－1.因为A－1＝，所以A＝(A－1)－1＝，于是矩阵A的特征多项式为f(λ)＝＝λ2－3λ－4.令f(λ)＝0，解得A的特征值λ1＝－1，λ2＝4.3．C3、N2[2012·上海卷]函数f(x)＝的最小正周期是________．3．π　[解析]考查二阶矩阵和三角函数的值域，以矩阵为载体，实为考查三角函数的性质，易错点是三角函数的化简．f(x)

8、＝sinxcosx＋2＝sin2x＋2，由三角函数周期公式得，T＝＝π.N3选修4-4参数与参数方程23．N3[2012·辽宁卷]在直角