N 选修4系列(理科).doc

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1、N选修4系列N1选修4-1几何证明选讲22.N1[2012·辽宁卷]如图1-8,⊙O和⊙O′相交于A,B两点,过A作两圆的切线分别交两圆于C,D两点,连结DB并延长交⊙O于点E.证明:(1)AC·BD=AD·AB;(2)AC=AE.图1-822.证明:(1)由AC与⊙O′相切于A,得∠CAB=∠ADB,同理∠ACB=∠DAB,所以△ACB∽△DAB.从而=,即AC·BD=AD·AB.(2)由AD与⊙O相切于A,得∠AED=∠BAD,又∠ADE=∠BDA,得△EAD∽△ABD.从而=,即AE·BD=AD·

2、AB.结合(1)的结论,得AC=AE.21A.N1[2012·江苏卷]如图1-7,AB是圆O的直径,D,E为圆O上位于AB异侧的两点,连结BD并延长至点C,使BD=DC,连结AC,AE,DE.求证:∠E=∠C.图1-721A.证明:如图,连结OD,因为BD=DC,O为AB的中点,所以OD∥AC,于是∠ODB=∠C.因为OB=OD,所以∠ODB=∠B.于是∠B=∠C.因为点A,E,B,D都在圆O上,且D,E为圆O上位于AB异侧的两点,所以∠E和∠B为同弧所对的圆周角,故∠E=∠B.所以∠E=∠C.15.N

3、1[2012·湖北卷]如图1-6所示,点D在⊙O的弦AB上移动,AB=4,连结OD,过点D作OD的垂线交⊙O于点C,则CD的最大值为________.11/11图1-615.2[解析]因为CD=,且OC为⊙O的半径,是定值,所以当OD取最小值时,CD取最大值.显然当OD⊥AB时,OD取最小值,故此时CD=AB=2,即为所求的最大值.12.N1[2012·全国卷]正方形ABCD的边长为1,点E在边AB上,点F在边BC上,AE=BF=.动点P从E出发沿直线向F运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于

4、入射角,当点P第一次碰到E时,P与正方形的边碰撞的次数为(  )A.16B.14C.12D.1012.B[解析]取单位长度为7的正方形,(1)直接作出图形可得到结果,如图所示,(2)建立坐标系,取正方形边长为7分单位,计算7次可得第7次时该点的横坐标与E点相同,根据对称性应选择14次.5.N1[2012·北京卷]如图1-3,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,以BD为直径的圆与BC交于点E,则(  )A.CE·CB=AD·DBB.CE·CB=AD·ABC.AD·AB=CD2D.CE·EB=CD25.A[

5、解析]本题考查了平面几何圆与三角形,特别是重点考查了射影定理等知识.对于A,CE·CB=CD2=AD·DB;对于B,CE·CB=CD2≠AC2=AD·AB;对于C,CD2=AD·DB≠AD·AB;对于D,ED2=CE·EB≠CD2.15.N1[2012·广东卷]如图1-3,圆O的半径为1,A、B、C是圆周上的三点,满足∠ABC=30°,过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P,则PA=________.15.[解析]考查平面几何中圆周角定理以及弦切角定理等,解题关键是通过连接OA,在△AOP中利用勾股定

6、理求出.连接OA,则OA⊥PA,根据圆周角定理得:∠AOP=60°,所以PO=2,OA=1,在直角三角形AOP中利用勾股定理得:PA==.11.N1[2012·湖南卷]如图1-3,过点P的直线与⊙O相交于A,B两点.若PA=1,AB=2,PO=3,则⊙O的半径等于________.图1-311.[解析]设圆的半径为r,由圆的割线定理可得,PA·PB=(PO-r)(PO+r),把PA11/11=1,PB=1+2=3,PO=3代入求解得3=9-r2,∴r=.22.N1[2012·课标全国卷]如图1-6,D,

7、E分别为△ABC边AB,AC的中点,直线DE交△ABC的外接圆于F,G两点.若CF∥AB,证明:(1)CD=BC;(2)△BCD∽△GBD.22.证明:(1)因为D,E分别为AB,AC的中点,所以DE∥BC.又已知CF∥AB,故四边形BCFD是平行四边形,所以CF=BD=AD.而CF∥AD,连结AF,所以四边形ADCF是平行四边形,故CD=AF.因为CF∥AB,所以BC=AF,故CD=BC.(2)因为FG∥BC,故GB=CF.由(1)可知BD=CF,所以GB=BD.而∠DGB=∠EFC=∠DBC,故△B

8、CD∽△GBD.15B.N1[2012·陕西卷]如图1-5,在圆O中,直径AB与弦CD垂直,垂足为E,EF⊥DB,垂足为F,若AB=6,AE=1,则DF·DB=________.图1-515B.5[解析]本题考查了射影定理的知识,解题的突破口是找出直角三角形内的射影定理.连接AD,在Rt△ABD中,DE⊥AB,所以DE2=AE×EB=5,在Rt△EBD中,EF⊥DB,所以DE2=DF×DB=5.13.N1[2012·天津卷]如图1-3所示,

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