《平面向量的数量积》教案2

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1、《平面向量数量积》教案一、教学目标知识与技能1.通过物理中的“功”等实例，理解平面向量数量积的含义和物理意义。2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系。3.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律。4.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题。过程与方法1.通过物理中的“功”等实例，引出向量数量积的概念。2.运用几何直观引导学生理解定义的实质。3.进一步结合具体例题，加强对数量积性质的运用。情感、态度与价值观有物理背景出发引出数量积的概念，进而从几何直观引导学生自主探索数量积的性质，培养学生的自主探索能力。二、教学重点、难点重点是向量

2、的数量积的定义及性质。难点是对向量数量积定义及性质的理解和应用。三、教学方法有物理背景出发，介绍数量积的概念，教学中采用提出问题，引导学生通过观察、类比的方式，探索数量积的性质，进而结合例题运用性质加强理解。四、课时1课时五、教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入平面向量基本定理及向量的坐标表示向量数量积的定义及性质、运算率学生思考回答上节课内容温故知新定义形成我们已经学习了向量的加法、减法和数乘，它们的运算结果都是向量，那么向量与向量之间有没有“乘法”运算呢？这种新的运算结果又是什么呢？ 　　联想：物理中，功就是矢量与矢量“相乘”的结

3、果。 　　问题 物理学中的“功”是通过什么方法计算出来的？ 　　通过对物理公式 　　 　　（其中 是F与 的夹角）的分析，得到如下结论： 　　（1）功 是两个向量 和 的某种运算的结果，而且这个结果是一个数量； 　　（2）功不仅与力和位移的大小有关，而且还与它们的方向有关，具体地，它和力 与位移 的夹角有关。 　　由此可见，“求功运算”作为一种新的向量运算，不同于我们以前学习过的其他数学运算。 　　二、 导疑、导研 　　问题 从求功的运算中，可以抽象出什么样的数学运算？（学生讨论） 　　平面向量的数量积 　　（1） 最初的认识 　　学生讨论：如把

4、力 和位移 抽象地看成两个“向量”，把力 与位移 的夹角 抽象地看成两个向量的夹角，就可以得到一种新的运算，它就是从向量 得到一个数量（即 ）的运算，这里 是向量 的夹角。 　　（2） 进一步表述 　　引进“向量的数量积”等术语后，就可以把上面的结果进一步表述为： 　　已知两个向量 和 ，它们的夹角为 ，我们把数量 叫做 和 的数量积（或内积），记作 ，即 = 。 教师引导学生，从向量的坐标出发，根据数量积的定义推导出数量积的坐标运算。从而很容易推导出三个公式和一个条件让学生自己联系旧知识推导新内容，体会自己创作的乐趣　　两个向量的夹角 　　问题

5、 在上面的向量数量积的定义中，提到了“两个向量的夹角”的概念，它究竟代表什么意义呢？ 定义深化对于从前的射影的概念，我们进行重新的认识向量在轴上的正射影：作图定义：

6、

7、cosq叫做向量在所在轴上的正射影正射影也是一个数量，不是向量；当q为锐角时正射影为正值；当q为钝角时正射影为负值；当q为直角时正射影为0；当q=0°时正射影为

8、

9、；当q=180°时正射影为-

10、

11、挖掘向量在轴上的正射影的定义，和我们这两节的向量数量积有什么关系？（或找出其本质）学生主导发现问题，教师引导提出和解决问题注意：射影是可正可负可为零的教学中，学生不太容易理解的，也不经常用

12、到的概念，变作例题形式有利于加深印象应用举例例1.已知=（3，-1），=（1，-2），求，

13、

14、，

15、

16、，<,>例2.求证菱形的两条对角线互相垂直.练习.已知点A（1，2），B（2，3），C（-2，5），求证例3.已知点A（1，2），B（3，4），C（5，0），求的正弦值练习.已知=(3,4)，求：（1）的单位向量；（2）与垂直的单位向量；（3）与平行的单位向量主要体会向量代数运算的方便和简便，以及几何性质的直观熟练准确的运用向量数量积进行运算，并对某些结论性的内容有所了解课堂小结1.数量积的定义、性质、运算率2.几种特殊情况的讨论（注意事项）教师提

17、出问题：向量的运算已经接触到了加法、减法、数乘及数量积的运算，那么它们的区别和联系是什么？尤其是数乘和数量积的运算，同是乘法，有何区别？主要学生总结，教师不做过多引导让学生掌握最主要的内容；让大多数学生知道还有某些注意事项作业1、看书总结平面向量数量积的注意事项（分别从定义、运算率、性质、与数乘的区别总结）2、总结一些你认为很有用的式子（可以从例题、习题总结）