平面向量的数量积授课教案

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1、平面向量的数量积授课教案张辉授课内容:平面向量的数量积授课类型:复习课授课教师:张辉教学目标:①通过物理中"功"等实例,理解平面向量数量积的含义及其物理意义;②体会平面向量的数量积与向量投影的关系;③掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算;④能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。教学重点:平面向量数量积的运算教学难点:平面向量与其他知识点的综合问题的处理命题走向:本讲以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质,重点考察平面向量的数量积的概念及应用。重点体会向量为代数几何的结合体,此类题难度不大,分值5~9分。平面向量的综合

2、问题是“新热点”题型,其形式为与直线、圆锥曲线、三角函数等联系,解决角度、垂直、共线等问题,以解答题为主。预测09年高考:(1)一道选择题和填空题,重点考察平行、垂直关系的判定或夹角、长度问题;属于中档题目。(2)一道解答题,可能以三角、数列、解析几何为载体,考察向量的运算和性质;教学过程:一.知识点梳理(1)数量积的概念已知两个非零向量与,它们的夹角为,则·=︱︱·︱︱cos叫做与的数量积(或内积)。规定;向量的投影:︱︱cos=∈R,称为向量在方向上的投影。投影的绝对值称为射影;(2)数量积的几何意义:·等于的长度与在方向上的投影的乘积。(3)向量数量积的性质

3、①向量的模与平方的关系:。②乘法公式成立;;③平面向量数量积的运算律交换律成立:;对实数的结合律成立:;分配律成立:。④向量的夹角:cos==。当且仅当两个非零向量与同方向时,θ=00,当且仅当与反方向时θ=1800,同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。(4)两个向量的数量积的坐标运算已知两个向量,则·=。(5)垂直:如果与的夹角为900则称与垂直,记作⊥。两个非零向量垂直的充要条件:⊥·=O,平面向量数量积的性质。(6)平面内两点间的距离公式设,则或。如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、,那么(平面内两点间的距离公式)。二:典例解析例1:已知

4、向量a=(cosa,sina),b=.那么a+b与a-b的夹角的大小是?分析:,易得例2:已知。(1)若a与b的夹角为,求(2)若a-b与a垂直,求a与b夹角的大小分析:通常用一个向量与自身做内积来求它的模,当两个向量互相垂直时它们的内积为0,本题主要考察了内积的定义以及学生对向量的内积运算的理解。例3.已知,,,按下列条件求实数的值。(1);(2);。解析:(1);(2);。点评:此例展示了向量在坐标形式下的平行、垂直、模的基本运算。三.练习:1.判断下列各命题正确与否:(1);(2);(3)若,则;(4)若,则当且仅当时成立;(5)对任意向量都成立;(6)对任

5、意向量,有。学生完成,教师点评:(1)错;(2)对;(3)错;(4)错;(5)错;(6)对。点评:通过该题我们清楚了向量的数乘与数量积之间的区别于联系,重点清楚为零向量,而为零。2.已知向量与的夹角为,则等于()A.5    B.4    C.3    D.1点评:选择B,掌握向量数量积的逆运算,以及。3.(2005广东12)已知向量,,且,则。点评:∵,∴,∴,∴。4.(06湖南理,5)已知且关于的方程有实根,则与的夹角的取值范围是()A.B.C.D.点评:选择B作业:P1382,3四.思维总结1.两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别(1)在实数中,若a¹0

6、,且a×b=0,则b=0;但是在数量积中,若¹0,且×=0,不能推出=。因为其中cosq有可能为0;(2)已知实数a、b、c(b¹0),则ab=bcÞa=c。但是×=×;如右图:×=

7、

8、

9、cosb=

10、

11、

12、OA

13、,×c=

14、

15、c

16、cosa=

17、

18、

19、OA

20、Þ×=×,但¹;(3)在实数中,有(×)=(×),但是(×)¹(×),显然,这是因为左端是与c共线的向量,而右端是与共线的向量,而一般与c不共线。2.平面向量数量积的运算律特别注意:(1)结合律不成立:;(2)消去律不成立不能得到;(3)=0不能得到=或=。3.数量积的主要应用:①求模长;②求夹角;③判垂直;4.注重数学

21、思想方法的教学①.数形结合的思想方法。由于向量本身具有代数形式和几何形式双重身份,所以在向量知识的整个学习过程中,都体现了数形结合的思想方法,在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯,以加深理解知识要点,增强应用意识。②.化归转化的思想方法。向量的夹角、平行、垂直等关系的研究均可化归为对应向量或向量坐标的运算问题;三角形形状的判定可化归为相应向量的数量积问题;向量的数量积公式,沟通了向量与实数间的转化关系;一些实际问题也可以运用向量知识去解决。③.分类讨论的思想方法。如向量可分为共线向量与不共线向量;平行向量(共线向量)可分为同向向量和反向向量;向量在方

22、向上的投影

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