平面向量的数量积授课教案

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1、平面向量的数量积授课教案张辉授课内容：平面向量的数量积授课类型：复习课授课教师：张辉教学目标：①通过物理中"功"等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；②体会平面向量的数量积与向量投影的关系；③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。教学重点：平面向量数量积的运算教学难点：平面向量与其他知识点的综合问题的处理命题走向：本讲以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察平面向量的数量积的概念及应用。重点体会向量为代数几何的结合体，此类题难度不大，分值5~9分。平面向量的综合问

2、题是“新热点”题型，其形式为与直线、圆锥曲线、三角函数等联系，解决角度、垂直、共线等问题，以解答题为主。预测09年高考：（1）一道选择题和填空题，重点考察平行、垂直关系的判定或夹角、长度问题；属于中档题目。（2）一道解答题，可能以三角、数列、解析几何为载体，考察向量的运算和性质；教学过程：一．知识点梳理（1）数量积的概念已知两个非零向量与，它们的夹角为，则·=︱︱·︱︱cos叫做与的数量积（或内积）。规定；向量的投影：︱︱cos=∈R，称为向量在方向上的投影。投影的绝对值称为射影；（2）数量积的几何意义：·等于的长度与在方向上的投影的乘积。（3）向量数量积的性质①向

3、量的模与平方的关系：。②乘法公式成立；；③平面向量数量积的运算律交换律成立：；对实数的结合律成立：；分配律成立：。④向量的夹角：cos==。当且仅当两个非零向量与同方向时，θ=00，当且仅当与反方向时θ=1800，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。（4）两个向量的数量积的坐标运算已知两个向量，则·=。（5）垂直：如果与的夹角为900则称与垂直，记作⊥。两个非零向量垂直的充要条件：⊥·＝O，平面向量数量积的性质。（6）平面内两点间的距离公式设，则或。如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式)。二：典例解析例1：已知向量a

4、=(cosa,sina),b=.那么a+b与a-b的夹角的大小是？分析：，易得例2：已知。（1）若a与b的夹角为，求（2）若a-b与a垂直，求a与b夹角的大小分析：通常用一个向量与自身做内积来求它的模，当两个向量互相垂直时它们的内积为0,本题主要考察了内积的定义以及学生对向量的内积运算的理解。例3．已知，，，按下列条件求实数的值。（1）；（2）；。解析：（1）；（2）；。点评：此例展示了向量在坐标形式下的平行、垂直、模的基本运算。三．练习：1．判断下列各命题正确与否：（1）；（2）；（3）若，则；（4）若，则当且仅当时成立；（5）对任意向量都成立；（6）对任意向量，

5、有。学生完成，教师点评：（1）错；（2）对；（3）错；（4）错；（5）错；（6）对。点评：通过该题我们清楚了向量的数乘与数量积之间的区别于联系，重点清楚为零向量，而为零。2.已知向量与的夹角为，则等于（）A．5　　　　B．4　　　　C．3　　　　D．1点评：选择B,掌握向量数量积的逆运算，以及。3．(2005广东12)已知向量，，且，则。点评：∵，∴，∴，∴。4.（06湖南理，5）已知且关于的方程有实根,则与的夹角的取值范围是（）A．B．C．D．点评：选择B作业：P1382，3四．思维总结1．两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）在实数中，若a¹0，且a×b

6、=0，则b=0；但是在数量积中，若¹0，且×=0，不能推出=。因为其中cosq有可能为0；（2）已知实数a、b、c(b¹0)，则ab=bcÞa=c。但是×=×；如右图：×=

7、

8、

9、cosb=

10、

11、

12、OA

13、，×c=

14、

15、c

16、cosa=

17、

18、

19、OA

20、Þ×=×，但¹；(3)在实数中，有(×)=(×)，但是(×)¹(×)，显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与c不共线。2．平面向量数量积的运算律特别注意：（1）结合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到；（3）=0不能得到=或=。3．数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直；4．注重数学思想方法的教

21、学①．数形结合的思想方法。由于向量本身具有代数形式和几何形式双重身份，所以在向量知识的整个学习过程中，都体现了数形结合的思想方法，在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯，以加深理解知识要点，增强应用意识。②．化归转化的思想方法。向量的夹角、平行、垂直等关系的研究均可化归为对应向量或向量坐标的运算问题；三角形形状的判定可化归为相应向量的数量积问题；向量的数量积公式，沟通了向量与实数间的转化关系；一些实际问题也可以运用向量知识去解决。③．分类讨论的思想方法。如向量可分为共线向量与不共线向量；平行向量（共线向量）可分为同向向量和反向向量；向量在方向上的投影