数列中简易数论知识的应用

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1、高中数学教与学2013亟数列中简易数论知识的应用马进(江苏省通州高级中学，226351)数列是高中数学的重要内容．在每年的评注此题是比较典型的二元不定方高考中，以数列为载体，综合运用数列知识解程，其解法是解不定方程的典型方法，即先将决有关不定方程的整数解或整数的整除等问等式的一边分解为质因数的乘积，再利用另题已成为新的热点．这类问题对数学思维能一边两个数奇偶性相反和具有确定的大小关力和探索能力提出了更高的要求．下面通过系等条件进行分类讨论求解．几例作初步探讨．二、整除的性质一此类问题需要先将条件转化为关于整数、整数的分解此类问题

2、往往需要先将条件转化为关于n的不定方程，由于构成不定方程中的元素均整数n的不定方程，再将不定方程中的整数分为整数，可以利用整除的性质求解．解为质因数的乘积(多项式分解为若干个因例2设{g}是公差不为零的等差数列，式的乘积)，再进行分类讨论求解．s为其前n项和，满足a；+n；=n+a，S=7．例l由连续的正整数组成的数列之和为1000，则这样的数列一共有——个．(1)求数列{a}的通项公式及前n项和S；解设这个数列共有n项，其中首项为口，则这个数列的和为I／,(2a+n一1)，且(2)试求所有的正整数m，使得为am+2‘数列{a}

3、中的项．÷(2a+n一1)=1000，‘解(1)设公差为d，又·2222．．n(2a+n一1)=2000=2·5．①口2—05=04—03·又g和n均为整数'．．．2a一1为奇数，故n由等差数列性质，可得与2n+n一1的奇偶性相反．由①式知，2整一3d(a4+g3)=d(a4+a3)．除n与28+n一1中的一个．因为d≠0，所以a4+a3=0，即因为n<2a+n一1，从而n的值只能为1，2。l+5d=0．5，5，2．又由．s，：7，得7口+7_d：7，解得这里n不能取5，否则2n+n一1=2=a，=一5，d：2．16

4、盾．所以{a}的通项公式为g=2n一7，前n将n与20+n一1的可能取值列表如下：项和S=n一6n．nl55222a+n一12．524．522．553n1()0o1982855由上表可知，所求数列共有3个．·l8·第朝高中数学教与学=2m一3+—一6．·‘．厶rn一’等口n一1+3=一。n—l+3一一“r一，’·因为2m一3是奇数，所以2m一3可取的值．．数列{n+3}是等比数列．为±1，m=2或1．(2)‘．‘a1=Sl=2aJ一3，．．．0l=3．Q由(1)知n+3=(a。+3)·2～，当，孔=2时，2m一3+一6=3，2×

5、二m—J‘．．0=3·2一3．5—7：3，是数列{。}中的项；(3)设存在s，P，r∈N(s

6、n=mp，条件的三项．则P一定是n的约数．而本题中，因为o=2n评注本题属于探索性问题，涉及到数一7是大于或等于一5的整数组成的数列，因论中的奇数与偶数问题，注意体会解题中的此，要使得为数列{。}中的项，逻辑推理过程．在本题中，一些学生在得到am+2am+2o2；2+2后没有在两边同除以2，不能将必须是整数，因而2m一3+旦一6是整数．厶H一3问题继续解下去，这是由于缺乏整体观念造又因为2m一3是奇数，所以2m一3可取的值为成的．四、有理数与无理数问题±1．关于有理数与无理数，有这样一条简单三、奇数与偶数问题先将条件转化为关于r

7、／,的不定方程，再将性质：若m，n，P是整数(其中P>0，是无理不定方程两边的数分解为质因数的乘积(多数)，并且m+r／,=0，则m=／7,=0．项式分解为若干个因式的乘积)，再利用某些例4已知等差数列{o}的前1／,项和为项是奇数或偶数的定性分析，结合数的运算S，01=1+√l2，S3=9+3．性质(如奇数加奇数为偶数；奇数乘奇数为奇(1)求数列{n}的通项o与前n项和数；偶数乘任何整数为偶数等)对变量的取值S；范围进行缩小，结合分类讨论或枚举法使问(2)设6，求证：{ty,l{b}中任意不题得以解决．例3数列{a}的前n项和

8、为．s，S=同的三项都不可能构成等比数列．2n一3n(n∈N)．解(1)．’s，=9+3’．．．a=3+，’(1)证明：数列{o+3}是等比数列；．．d=2．(2)求数列{a}的通项公式a；．’a=1+√l2+(／7,一1)·2(3)数列{n}中是否存在三项，它