指数分布无失效数据失效率的多层Bayes 估计

《指数分布无失效数据失效率的多层Bayes 估计》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第15卷　第4期工　程　数　学　学　报Vol.15No.41998年11月Nov.1998JOURNALOFENGINEERINGMATHEMATICS指数分布无失效数据失效率XXX的多层Bayes估计韩　明(宁波大学应用数学系,宁波315211)摘　要对指数分布无失效数据的失效率,在先验分布为Gamma分布Gamma(1,b)时,给出了多层Bayes估计,从而可以得到无失效数据可靠度的估计。并结合实际问题进行了计算。关键词　无失效数据,失效率,可靠度,多层Bayes估计分类号　AMS(1991)62A15;C

2、CLO212.11　引　言在定时截尾可靠性试验中,有时会遇到“无失效数据”,特别是在高可靠性,小样本问题中,更容易产生无失效数据。对无失效数据的可靠性研究,是近些年来遇到的一个新问题,在实际问题中迫切需要解决,这项工作具有理论和实际应用价值。对指数分布无失效数据的可靠性研究,已取得了一些成果,见文献[1～9]。关于无失效数据的可靠性研究的若干进展情况,见文献[10]。Raiffa和Schlaifer在文献[11]中提出,先验分布应选取共轭分布。Gamma分布是指数分布的共轭分布,那么Gamma分布Gamma(a

3、,b)中的先验参数a与b如何确定呢?Lindley和Smith在文献[12]中提出了多层先验分布的想法,即在先验分布中含有超参数时,可对超参数再给出一个先验分布。2　失效率的多层先验分布对指数分布,其密度函数为f(t)=Kexp(-Kt)t>0,K>0(1)其中K为指数分布(1)的失效率。设某产品的寿命服从指数分布(1),现对该产品进行m次定时截尾试验,截尾时间为ti,X本文1997年12月1日收到。XX本课题是浙江省教委基金(编号:97107)和宁波大学基金(编号:962101G)资助项目。©1995-200

4、4TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.136工　程　数　学　学　报　　　　　　　　　　　　　第15卷i=1,2,⋯,m。相应试验样品数为ni,i=1,2,⋯,m,若试验的结果是所有样品无一失效,则称(ti,ni)为无失效数据。对指数分布(1),若失效率K的先验分布为Gamma分布Gamma(a,b),其密度函数为:aa-10(Kûa,b)=bKexp(-bK)ö#(a)(2)其中a>0,b>0,K>0,a与b为先验参数。在文献[13]中,提出

5、了无失效时多层先验分布的构造方法——减函数法。在无失效情况下,失效率K大的可能性小,而K小的可能性大。因此,按文献[13]应选择a与b使0(Kûa,b)为K的减函数。从(2)式可求出0(Kûa,b)对K的一阶导数为′aa-20(Kûa,b)=[bKexp(-bK)ö#(a)][(a-1)-bK]′由于K>0,a>0,b>0,所以当00时,0(Kûa,b)<0,即此时0(Kûa,b)为K的减函数。在文献[14]中,在00时给出了K的多层Bayes估计。以下讨论a=1与b>0的情况,此时

6、0(Kûa,b)仍为K的减函数。[15]考虑到Bayes估计的稳健性,b应有一个界限,设c为b的上界(c为常数,待定)。取(0,c)上的均匀分布作为超参数b的先验分布,此时b的先验密度为0(b)=1öc,(00。3　失效率的多层Bayes估计若K的先验密度0(K)由(3)式给出,由此可得定理　对寿命服从指数分布(1)的产品进行m次定时截尾试验,结果所有样品无一失m效,获得的无失效数据为(ti

7、,ni),i=1,2,⋯,m,记N=∑niti,若K的多层先验密度0(K)由i=1(3)式给出,则在平方损失下K的多层Bayes估计为:dc+Ncc+NK=ln-c-NlnNc+NN证明　对寿命服从指数分布(1)的产品进行m次定时截尾试验,若第i次定时截尾试验中有Xi个样品失效,根据文献[16],则Xi服从参数为nitiK的Poisson分布,则有:r(nitiK)ipi(Xi=ri)=exp(-nitiK),ri=0,1,2,⋯,ni,i=1,2,⋯,m,(ri)!则K的似然函数为(每次截尾试验是相互独立的)

8、mmr(nitiK)iL(XûK)=∏pi(Xi=ri)=∏(rexp(-NK)i)!i=1i=1m其中N=∑niti。i=1对无失效情况,即ri=0,i=1,2,⋯,m。则有:L(0ûK)=exp(-NK),此即为无失效时K的似然函数。若K的多层先验密度0(K)由(3)式给出,根据Bayes定理,则K为的后验密度为:©1995-2004TsinghuaTongfangOpticalD