资源描述：
《椭球面参数方程的推导详解》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第17卷第2期洛阳师专学报1卯8年4月.0o、oaaeeoe.、0117、2Jimalof玩y嗯TehrsCl罗Apr,1卯8椭球面参数方程的推导及其参数的几何意义安春香(焦作教育学院,焦作451仪)1)一、xaZ一++=1椭球面共典的参数方程(l)厅Cl。x=as欣卿0蕊日蕊兀y二nbsi知娜(2)0蕊甲<27Tz二ee翻,,,、一般教科书上不加介绍有的书上虽有介绍但没有给出推导过程也未指明其中参数O甲的几何意义,‘f如江苏师院数学系编《解析儿何》)有的书上只写参照球面参数方程得”(如陈鹊编《解析几何讲义为,这就很容易使
2、学生把椭球而的参数方程与球面的参数方程x二.「rs1欣麒fy二m千0(二rSl族眨z=理<2兀咖0蕊甲,、,混为一谈把二者的参数日甲看成一样即把6看成是椭球面上一点,甲XOMM的径矢OM与Z轴正方向的夹角把看成是轴与在xo$平P试i,O=甲,面上的射影矢量o所成的有向角(P)(图.,,,、,十二1)这是错误的我们知道在平面解析儿何里圆犷产的图1x二rco参:哪O蕊甲宾27T数方程为y二rsl哪十二X二aco椭圆典共:卿的参数方程为O成甲蕊2冗一-aby二bs一卿,,二者的参数甲的jL何意义是完全不同的其作法可参看图2推导过
3、程略如图,一M甲M甲显2所示圆上任意点的离心角与椭圆上任意一点的离心角然不同,那图2第2期安春香椭球面参数方程的推导及其参数的几何意义那么椭球面的参数方程中的参数。与甲的几何意义究竟是什么呢?这里给出椭球面(l)参数方程(,.2)的几种推导方法即可说明:方法一不失一般性,设方程(a>b>C1)中,、、,,、、,aCNABCOA二以O为球心分别以b为半径作三个同心球从O任引射线O设分别交三球面于则,,,,、、,、‘、‘,,,aOB=OC=CNXOYABBZ二二b将射线O向平面投影设C的射影分别为AC设乙ON日乙XON,’、’
4、,’,,,千过AB分别作A,XOBB,XoA。xB、丫刃土土过作平面土轴过作平面日土轴过c作平面上z.,,,一Mxyz)X二A轴设三平面交于点(则点的横标。二’,二()AOAco=O1。二asL。斗七欣斗欣卿=二’二‘=ln=x,,yB点的纵标BBOBsi卿OBs族i甲M(v乙)bslslnC动’、z二c==。甲刀c既co如co幼从以上三式消去即得十+,二1浑共典为椭球面方程川a幻C故椭球而为点M的轨迹l。x=as巍释7T0簇口蕊y二slnb飞i娜O蕊甲<2汀z二ee喇为椭球面(1)的参数方程.因点M不在射线oN上.所以这
5、以的、甲显日然与球面参数方程中的.日叩不一样图3,为了能更清楚地看到点M与已甲的关系我们还可以采用另一种方法推导方:法二,.一,、,,,〔M(、z夕MQZC以0为球心为半径作球向设为椭球而上任一点过作平而土Z轴交轴于,,,一,.CO刃2二OC二。点交球面得交线公设以为顶点C为底而圆的圆锥母线与轴的夹角为日显然叩姗这,Q。!飞:也是平而的方程故平而与椭球而犷的交线椭圆方程为、xa一厅V++、111·了a}少二二ccosdz二e〔05口.点M在此交线椭圆上在亚而。上我们可以按照图2白冬J的方法作出r煞M的离心角年即以〔为圆匕
6、、‘,‘、,、InlnM、(_(分别以日bs臼为半径作两个同心圆(用虚线画出过点作轴的垂线交工P点交大圆..,‘.‘入连接CA交小圆C于B则乙xc入为点M的离心角叮出平}衍椭圆参数方程立!:日可得椭圆夕的参毛:方程为x二asln。r庚义V二bs,sln。。匕。。若,二{胡乙二CCOSO..,,M。。z二一c:二C当点在椭球面上任意变动时日就在〔币上仟意取值平面可在平面与之间任意平移:即可得到椭球而参数方程入二,nOlaS比盯叉、二}。、Ins:n够O蕊日成{日其作法如图4所示·甲<兀L:二。。勺s日0耳2洛阳师专学报1卯
7、8年__一了引下,!..l一}t}Il上,.{_图4,‘‘,’这里的。二乙c(D是交线Oc上任一点)而。尹乙COM;这里的,=乙x二乙x0A而,尹乙MoD以xo(A‘,M’分别为点A,M在x0y平面上的射影),显然,椭球面参数方程中的、甲、甲0与球面参数方程中的0完全不同.类似地,:还可以得到椭球面参数方程的另两种形式.二acrl.‘.‘J工一动之XVasi族i呷0蕊6蕊冗和0宾0城兀二艾“刃眺j心哪be0续,蕊27T0蕊甲宾2兀二i:二lcsi成哪csi众哪:请思考这里的o与,又各代表哪个角呢?方法:三作坐标变换尸xaz
8、e!lJXVZ一l一一上bX二aX!y=场或Z=CZ十十=则椭球面的方程共共乓(l)变为f厅石x,,+y,,+z”二l(4),它为:一单位球面方程其参数方程为x‘二si液科y’二sI而i哪其中O是在新坐标系,图5z二c仪刃’,’,’‘‘‘‘,’’{o;izk}里单位球面(4)上的点M的径矢oM与02轴的
