弹簧振子振动周期的分析

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1、2001年第4期海南广播电视大学学报2001No.4总第5期JournalofHainanRadio&TVUniversityGeneralSerialNo.5弹簧振子振动周期的分析梁栋(海南职业技术学院公共课部,海南海口570216)摘要:弹簧振子的振动是所有机械振动中最基本也是最有代表性的振动。本文只限于对几种简单的振子系统的固有周期作些讨论,并找出影响计算振动周期的若干因素。关键词:弹簧振子;振动;周期中图分类号:O32文献标识码:A文章编号:1009—9743(2001)04—0049—03振动是一种十分普遍的运动形式,在科学

2、技术k2令=ω则有高度发展的今天,它已经成为生产上必须研究的问m22题之一。振动与波的知识又是声学、地震学、建筑dx=-ω2x或dx+ω2x=0(1)22dtdt学、光学及现代信息技术等学科的理论基础。本文这是一个二阶线性常微分方程,根据微分方程不准备对各种机械振动的规律作全面的讨论,而只理论,其方程的解为限于对弹簧振子这一特例的系统的固有振动周期作x=Acos(ωt+<)(2)些讨论,以达到对振动规律有更深一步的认识和了这是一个简谐振动的运动方程,式中的A,<为解。积分常数,可由初始条件确定。一、简单的弹簧振子的振动周期根据上述运动

3、方程的解x=Acos(ωt+<)的性质,可知振动物体的位移是时间的周期函数,其周期大小为:2πmT==2π(3)ωkT称为弹簧振子的固有周期[1]。若物体在运动过程中,物体除了受到弹性恢复力之外,还受到重力mg的作用。如图2所示,设△L为弹簧振子静伸长,即mg=k△L。向下为X轴的正方向,当物体的位移处在坐标为X的位置时,根据牛顿运动第二定律,物体的运动方程为:2图1dx-k(△L+x)+mg=m2(4)dt因为k△L=mg如图1弹簧振子,其运动方程由牛顿第二定律2dx给出:故有m2=-kx(5)dt2dxma=-kx即m2=-kxd

4、t其中m为振子质量,k为振子倔强系数。收稿日期:2001211210作者简介:梁栋(1957—),男,汉族,海南文昌人。海南职业技术学院物理学讲师、院长助理。492001年海南广播电视大学学报第4期时,上面两条弹簧伸长了同样的长度△Lab,下面的弹簧被压缩了△Lc。当选取平衡位置为原点,坚直向下为X轴正向,物体的位置处于坐标为X处时,根据牛顿第二定律可得2dx-2k(△Lab+x)-k(△Lc+x)+mg=m2(7)dt2dx3k整理得:2+x=0dtm23kdx2令ω=,得2+ωx=0(8)mdt其方程的解为:X=Acos(ωt+<

5、)(9)m可知,其固有振动周期为T=2π,可见这3k样的运动仍然是简谐振动,但是固有周期比单个弹簧的振动系统的周期变小。2、二物体弹簧振子的振动周期[3]图2自然界中的双原子分子(H2,CO,Hcl等),它们可沿着对称轴振动,这些分子和原子之间的耦合是2电磁的,但为研究方便,我们仍可想象这些原子是用dx2同理可得m2+ωx=0(6)dt很小的无质量的弹簧连接起来,即把双原子分子沿可见这仍然是一个二阶线性常微分方程,根据对称轴的振动,抽象为如图4所示,用一根质量可忽前面的讨论可知,这种情形下物体的振动仍然是简略,倔强系数为K的弹簧连接,

6、质量分别为m1和谐振动,其周期也与上述例子相同[2]。m2的两物体在光滑的水平面上作自由振动的二体同理不难推断,当振动系统除本身的弹性力外,振动理想模型。这里讨论这个二体理想模型的振动还受有恒力(如物体本身的重力)作用时,系统仍作周期。简谐振动;其恒力除了使振动的平衡位置发生改变外,并不影响系统做简谐振动及其振动的周期。二、复杂弹簧振子系统的振动周期1、多弹簧振子系统的振动周期图4设弹簧的自由长度为L,用x1(t)和x2(t)表示弹簧的两个端点的位置,则在任一时刻t弹簧的长度为X1-X2。弹簧的长度变化x(t)为:X=(X1-X2)-

7、L(10)现以X>0,即弹簧被拉长作具体讨论,在这种情况下,m2受力向右,m1受力方向左,如按图4所示坐标轴取向,根据牛顿第二定律,对m1和m2分别有如下方程:2dx1m12=-kx(11)dt2dx2m22=kx(12)dt图3以m1·m2乘上面方程然后相减得:m21·m2d·2(x1-x2)=-kx(13)弹簧振子系统可以是多样化的,现我们讨论如m1+m2dt图3所示的系统。三条长度、倔强系数K均相同的m1·m2令m=为系统的折合质量,考虑到x=轻弹簧,共同系住一质量为m的物体而处于平衡m1+m250弹簧振子振动周期的分析(x1-

8、x2)-L且L为常数,即得:如图5所示,弹簧的质量为ms比悬挂的物体m2小得多。若取悬挂点为原点,竖直向下为x轴正方dx1k2+x=0(14)dtm1·m2向。当物体作运动时,我们在距O点为x的位置处m1+m2取元段dx