振动之阻尼弹簧振子的受迫振动

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1、*{范例5.8}阻尼弹簧振子的受迫振动一弹簧振子的质量为m，劲度系数为k，振子除了受到阻力f=-γx之外，还受到周期性的外力的作用F=F0cosΩt，其中是F0驱动力的幅值，Ω是驱动力的圆频率。(1)当物体静止在平衡位置时驱动力开始作用于物体上，讨论物体运动的规律。(2)受迫振动达到稳态时，讨论位移振幅和速度振幅与驱动力频率的关系，并讨论振子产生共振的条件。根据牛顿运动定律，物体运动的微分方程为取k/m=ω02，γ/m=2β，物体的运动方程可表示为其解等于齐次微分方程的通解x1与特解x2之和。[解析](1)物体在周期性的外力持续作用下发生的振动称为受迫振动，周期性的外力称为驱动力。特解也

2、用复数表示代入微分方程得解得复振幅为特解用复数的实部表示为x2=Acos(Ωt+Φ)为了简单地求特解，将驱动力用复数表示其中*{范例5.8}阻尼弹簧振子的受迫振动取齐次式微分方程的解为x1=e-βt(Ccosωt+C'sinωt)，其中阻尼圆频率为C和C'是常数。v=-βe-βt(Ccosωt+C'sinωt)+e-βt(-ωCsinωt+ωC'cosωt)-ΩAsin(Ωt+Φ)当物体从静止开始运动时，即当t=0时，有x=0，v=0，可得0=C+AcosΦ，解得C=-AcosΦ，速度为通解为通解为可表示为x1=A1e-βtcos(ωt+φ),x=x1+x2=e-βt(Ccosωt+C'

3、sinωt)+Acos(Ωt+Φ)0=-βC+ωC'-ΩAsinΦ振幅和初相分别为x1是减幅振动，x2是等幅振动，物体的振动是两个振动的合成。*{范例5.8}阻尼弹簧振子的受迫振动物体在作受迫振动时，减幅振动的位移随时间逐渐衰减为零，如果约化阻尼因子β/ω0为0.1，约化驱动力圆频率Ω/ω0为2，两个振动叠加之后，开始时的位移比较复杂，经过一定的时间，减幅振动衰减之后，物体作等幅振动，其圆频率等于驱动力的圆频率。等幅振动的圆频率比减幅振动的圆频率大，如果约化阻尼因子不变，约化驱动力圆频率Ω/ω0为6，受迫振动的振幅随着减幅振动起伏，最后成为等幅振动。等幅振动的圆频率比减幅振动的圆频率更大

4、，因而振动得更快。等幅振动的圆频率比减幅振动的圆频率小，因而振动得比较慢。约化阻尼因子不变，如果约化驱动力圆频率Ω/ω0取0.6，受迫振动开始时受到减幅振动的扭曲，最后成为等幅振动。等幅振动的圆频率与固有圆频率相等，与减幅振动的圆频率相近，因而振幅比较大。约化阻尼因子不变，如果约化驱动力圆频率Ω/ω0取1，受迫振动的振幅随时间不断增加，最后成为等幅振动。当驱动力的圆频率等于减幅振动的圆频率时，物体受迫振动达到稳定后的振幅最大。*{范例5.8}阻尼弹簧振子的受迫振动一弹簧振子的质量为m，劲度系数为k，振子除了受到阻力f=-γx之外，还受到周期性的外力的作用F=F0cosΩt，其中是F0驱动

5、力的幅值，Ω是驱动力的圆频率。(2)受迫振动达到稳态时，讨论位移振幅和速度振幅与驱动力频率的关系，并讨论振子产生共振的条件。当系统的阻尼因子一定时，振子的振幅由驱动力的圆频率决定；振子的位移与驱动力并不同相。通常β≠0，当Ω→0时，A→F0/mω02，Φ→0；当Ω→∞时，A→0，Φ→-π。[解析](2)振子在作受迫振动时，经过一定的时间，x1→0，x→x2=Acos(Ωt+Φ)，振子的运动达到稳态。这种位移振幅达到最大值的现象称为位移共振。最大位移振幅的圆频率范围在0到ω0之间，而最大位移振幅可以从F0/mω02达到无穷大。在位移共振时，初相为可见：位移共振的初相小于零。x=Acos(Ω

6、t+Φ),*{范例5.8}阻尼弹簧振子的受迫振动为了计算最大振幅，设A的分母的平方为令dy/dΩ=0，可得容易验证，这就是振幅取极大值的条件，当然要求极大值为物体的速度为其中速度振幅为可见：当Ω→0时，速度振幅vm→0。由于x=Acos(Ωt+Φ),可知：当Ω→∞时，速度振幅也有vm→0。当Ω=ω0时，速度振幅最大，最大值为这种速度振幅达到最大值的现象称为速度共振。当发生速度共振时，初相Φ=-π/2；速度和驱动力是同相的，即速度的方向与驱动力的方向总是保持一致的。*{范例5.8}阻尼弹簧振子的受迫振动当β<0.707ω0时，物体的位移振幅随外力圆频率的增加先增后减。当β≥0.707ω0时

7、，物体的位移振幅随外力圆频率的增加而减小。不论阻尼因子是多少，所有曲线的起点和终点都相同。位移振幅的峰值随阻尼因子的减小而增加，或者随外力的圆频率的增加而增加，峰值分布在0到ω0之间。不论阻尼因子是多少，当驱动力的圆频率很低时，位移与驱动力就接近同步；位移初相就是位移与驱动力的相差，相差都小于零，表示位移滞后驱动力。当驱动力圆频率很大时，位移的初相趋于-π，位移与驱动力反相。随着驱动力圆频率增加，位移越来越滞后驱动力，当驱动力圆频率