竞赛中不等式证明的一些典型方法下

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1、2008年第4期17竞赛中不等式证明的一些典型方法(下)王景周(暨南大学学报编缉部,510632)所以2≤24逐步调整,a+b≤.k+13对于含有多个变元的不等式,我们常常则ab{(a+b)[3-4(a+b)]+2ab}将某个或某几个变元的值适当调整(增大或≥ab(a+b)3-4×2+2ab>0,3减少),使它们等于定值或等于其他变量,从即F(x′)-F(x)>0.而使原不等式转化为新的更强的不等式,且经过有限次调整后可知加强不等式变元减少或易于证明.F(x)≤F(p,q,0,⋯,0)例9设n(n≥2)是一个固定的整数.221(1)确定最小常数c,使得对所有非负实=pq(p+q)=pq(1-

2、2pq)≤.8数x1,x2,⋯,xn,不等式注:应用非常广泛的排序不等式的证明n422采用的也是调整法.∑xixj(xi+xj)≤c∑xi1≤i

3、n令F(x(x34).复杂,需要灵活地作一下变换,然后,再通过1,x2,⋯,xn)=∑i-xii=1Lagrange配方法即可转化成上述求最值形不妨设x1≥x2≥⋯≥xn,假设x1,x2,式.当然,有时还需要从两头向中间配.⋯,xn中第一个非零的数是xk+1.若k≥2,将例10设xi≥0(i=1,2,⋯,n),且x=(x1,x2,⋯,xk+1,0,⋯,0)n2k调整为∑xi+2∑jxkxj=1.i=11≤k

4、,全国高中数学联赛)3434[(xk-xk)+(xk+1-xk+1)]分析:注意到nn=ab{(a+b)[3-4(a+b)]+2ab},22其中,∑xi=∑xi+2∑xkxja=xk,b=xk+1.i=1i=11≤k

5、i+2∑kykyj,y=f(x)是定义在区间[0,1]i=11≤k

6、f(x2)-f(x1)

7、<

8、x2-x1

9、.i=1i=2证明:对任意的x1、x2∈[0,1],都有则n12

10、f(x2)-f(x1)

11、<.∑ui=1,xk=kyk=k(uk-uk+1),2i=1(1983,全国高中数学联赛)其中,un+1=0.1分析:若

12、x2-x1

13、≤,则结论显然.由阿贝尔变换得2nn221

14、∑xk=∑k(uk-uk+1)若

15、x2-x1

16、>,不妨设x1≥x2,则2k=1k=1n12=∑uk(k-k-1)x1-x2≥2.k=1nn故

17、f(x2)-f(x1)

18、≤22∑uk∑(k-k-1),=

19、f(x2)-f(0)+f(1)-f(x1)

20、k=1k=1nn1即∑xi≤∑(k-k-1)2.<

21、1-x1

22、+

23、x2

24、=1-(x1-x2)≤2.i=1k=1注:若不妨设x1≤x2,则

25、f(x2)-f(x1)

26、等号成立的条件是要变形为

27、f(x2)-f(1)+f(0)-f(x1)

28、.uk=λ(k-k-1),nn2例12设x1,x2,⋯,xn∈R,∑xi=将其代入到∑ui=1,得i=1i=1n+111,

29、且

30、xi

31、≤(i=1,2,⋯,n).证明:存在λ=.2n(k-k-1)2x1,x2,⋯,xn的一个排列y1,y2,⋯,yn使得∑k=1n+1

32、y1+2y2+⋯+nyn

33、≤.k-k-12所以,uk=.n(第38届IMO)2∑(k-k-1)k=1分析:对于(x1,x2,⋯,xn)的任一排列kσ=(y1,y2,⋯,yn),记S(σ)为和式y1+2y2+注:对数列{an}、{bn},记Sk=∑aii=1⋯+nyn的值