向量等式系数问题求解方法

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1、中学生数学·2012年6月上·第443期(高中)向量等式系数求解方法江苏省板浦高级中学(222241)徐勇路苏教版必修4P65例4：“△0AB中，C为则有一劢一(一)，直线AB上一点，一商(．j-≠一1)，求证：整理得一击1T^+1TA②o-5一．，，这个结论又被称为定比分点1T^由①、②可知m一I，一，上1一上1一^的向量公式(这里叫做点C分向量A秀所成的比)，这是一个十分有用的结论．若再关注0，一，一，0百的系数关系，还可得到以下推论：已知A，B，C，0为平面内四点，且A，B，C三点在一条则mn一

2、专一告c+÷+2≥告，直线上，则存在一对实数，，使一+当且仅当一1，即G为MN的中点时，取0百，且m+一1(反之也成立)．笔者在翻阅得等号。本刊第9期时，发现文[1]、文[2]、文[3]中所举另解根据推论，上述解题可进一步精的向量例题都可用定比分点的向量公式或推简，论来破解，下面整理成文．即由一+可快速得到1例1(二十二届希mJm望杯高二第一试16题)+一1，如图1，直线MN过△ABC的重心G，且A则+一3，又+≥2兰，“L“L“mn一m，一(其中m>0，>0)，则图1贝_；’，故mn≥告，的最小值是

3、．当且仅当m—n时，即MN／／BC时取得等文[1]根据目标式的特征，运用面积法，处号．理得巧妙流畅．但过程中没有借助向量知识，文[2]专门探讨了形如向量等式=学生不易想，对学生要求较高．笔者按多数学+中的系数处理策略，实际上，定比分生的思维习惯从向量视角进行求解．点的向量公式及推论恰是处理该类问题的利解析因G为AABC的重心，器，为了方便，下面将文E2]中的所举3个例题分别称为例2、例3和例4，给出具体求解讨程．则有一×专(+)一去(+例2如图2，在)，△ABc中，一2赢，又劢一m，一，一2赢，若==

4、=亩+，则仇+一故一+①力一·——图2因点M，N，G三点共线，则存在实数(>0)，使一菌，解析因一2商，则一号．又疏一一劢，商一～，又一+，网址：ZXSS．chinajourna1．net．cn●17●电子邮箱：zxss@chinajourna1．net．cil中学生数学·2012年6月上·第443期(高中)因点A，B，D三点共B则一孚+．线，因一2赢，定比分点的向量公式得恶由推论得+一1路===南+南，1，即z+一÷．^与即一号+÷，当JODJ最小时，A最图6小，此时z+的值最大．则一2，—1法，当

5、OD上AB时，IODl最小，又OAD=3O。，即一41，一故Ij一，又IJ一1，则一，，故+一吾．厶例3如图3，在平故z+y的最大值为2．行四边形ABCD中，E，文[3]中的例3是通过建立直角坐标系将问题转化为线性规划问题，下面也给出定比分F分别是CD和BC的中点，若一+点的向量公式的推论来求解．下面作为例5．例5正六边形ABCDEF中，P是△CDE，其中，∈R，则+一．内(包含边界)的动点，设一+口，，——解析连接EF交∈R，则a+的取值范围是AC于点G，如图4，由解析过点P作EC的平行线分别交定比

6、分点的向量公式得CD，DE于M，N两点，F一告+告，图4OP交BF于点Q，连接AD分别交BF，CE，MN又易知一丢，而一A+，于点G，H，J．如图7，设一硒，图7则一+挈，~A-P=+，故有一，4=2，则一窟+譬，⋯即一一号2，故．．+．一号4·因B，Q，F三点共线，例4给定两个长度由定比分点的向量公式的推论知+譬为1的单位向量0和一1，则+一．因GQ／／PI，0百，它们的夹角为120。，则AQ===AG如图5所示，点C在以0，则一，为圆心的圆弧AB上变即点P在线段MN上的其他位置与位于动，若：+菌，

7、图5点H时，a+的值都为．于是问题可转化点其中z，∈R，则z+的最大值为．——P在AD上研究，显然当点P位于点H时，解析连结AB，OC与AB的交点为D，最小，此时—AH一3；当点P位于点D时，如图6，则存在实数，使一，◇最大，此时一AD一4又一z+，．故a+fie[3，4]．豢则一z+菌，(下转第19页)豢网址：ZXSS．chinajourna1．net．cn●18●电子邮箱：zxss@chinajourna1．net．cn中学生数学·2012年6月上·第443期(高中)思陕西省西安高新第三中学(71

8、0075)g二动路幺首先我们来看2005年高考全国卷Ⅲ，数学所以当z：1O，有最大值V(10)一1960．文科第21题：如果把此图旋转90度就可得2011年江苏万用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做的高考试题第17题：法一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正请你设计一个包装盒，如图②所示，ABCD方形，然后把四边翻转9O。角，再焊接而成(如是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部图①)，问该容器的高为多少时，容器的容积最分所示的四个全等的等腰直