2020版高中数学第三章一元二次不等式及其解法（第2课时）一元二次不等式及其解法（二）学案

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1、第2课时　一元二次不等式及其解法(二)学习目标　1.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式．2.会对含参数的一元二次不等式分类讨论．3.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法．知识点一　分式不等式的解法一般的分式不等式的同解变形法则：(1)>0⇔f(x)·g(x)>0；(2)≤0⇔(3)≥a⇔≥0.知识点二　一元二次不等式恒成立问题一般地，“不等式f(x)>0在区间[a，b]上恒成立”的几何意义是函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象全部在x轴上方．区间[a，b]是不等式f(x)>0的解集的

2、子集．恒成立的不等式问题通常转化为求最值问题，即：k≥f(x)恒成立⇔k≥f(x)max；k≤f(x)恒成立⇔k≤f(x)min．知识点三　含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，仍可按以前的步骤，即第一步先处理二次项系数，第二步通过分解因式或求判别式来确定一元二次方程有没有根，第三步若有根，区分根的大小写出解集，若无根，结合图象确定解集是R还是∅．在此过程中，因为参数的存在导致二次函数开口方向、判别式正负、两根大小不确定时，为了确定展开讨论．1．由于>0等价于(x－5)(x＋3)>0，故y

3、＝与y＝(x－5)(x＋3)图象也相同．(　×　)2．x2＋1≥2x等价于(x2＋1)min≥2x．(　×　)3．(ax＋1)(x＋1)>0⇔(x＋1)>0．(　×　)题型一　分式不等式的解法例1　解下列不等式：(1)<0；(2)≤1.解　(1)<0⇔(2x－5)(x＋4)<0⇔－40(<0)或≥0(≤

4、0)，再化成整式不等式来解．如果能判断出分母的正负，直接去分母即可．跟踪训练1　解下列不等式：(1)≥0；(2)>1.解　(1)原不等式可化为解得∴x<－或x≥，∴原不等式的解集为.(2)方法一　原不等式可化为或解得或∴－30，化简得>0，即<0，∴(2x＋1)(x＋3)<0，解得－3

5、∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求实数m的取值范围．解　(1)要使mx2－mx－1<0恒成立，若m＝0，显然－1<0，满足题意；若m≠0，则即－40时，g(x)在[1，3]上是增函数，∴g(x)max＝g(3)＝7m－6<0，∴0

6、)max＝g(1)＝m－6<0，得m<6，∴m<0.综上所述，m的取值范围是.方法二　当x∈[1,3]时，f(x)<－m＋5恒成立，即当x∈[1,3]时，m(x2－x＋1)－6<0恒成立．∵x2－x＋1＝2＋>0，又m(x2－x＋1)－6<0，∴m<.∵函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，∴只需m<即可．综上所述，m的取值范围是.引申探究把例2(2)改为：对于任意m∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求实数x的取值范围．解　f(x)<－m＋5，即mx2－mx－1<－m＋5，m(x2－x＋1)－6<0.

7、设g(m)＝m(x2－x＋1)－6.则g(m)是关于m的一次函数且斜率x2－x＋1＝2＋＞0.∴g(m)在[1,3]上为增函数，要使g(m)<0在[1,3]上恒成立，只需g(m)max＝g(3)<0，即3(x2－x＋1)－6<0，x2－x－1<0，方程x2－x－1＝0的两根为x1＝，x2＝，∴x2－x－1<0的解集为，即x的取值范围为.反思感悟　有关不等式恒成立求参数的取值范围，通常处理方法有两种(1)考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参变量的不等式．

8、(2)若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一次函数、二次函数)，并结合图象建立参变量的不等式求解．(3)若已知参数的取值范围，求x的取值范围，通常用变换变元的方法解答．跟踪训练2　当x∈(1，2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则实数m的取值范围是________．答案　(－∞,－5]解析　构造函数f(x)＝x2＋mx＋4，x∈[1,2]，则f(x)在[1,2]上的最大值为f(1)或f(2)．由于当x∈(1,2)时