交错级数敛散性的一个新判别准则

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1、第29卷第2期高师理科学刊Vol.29No.22009年3月JournalofScienceofTeachers′CollegeandUniversityMar.2009文章编号：1007-9831（2009）02-0008-03交错级数敛散性的一个新判别准则钱伟懿（渤海大学数学系，辽宁锦州121000）摘要：交错级数是数学分析重要内容之一，对交错级数敛散性的判别方法目前并不多．关于交错级数的敛散性，给出一个新的判别准则，利用这个准则不仅能够判定一个交错级数的敛散性，而且能够判定交错级数是绝对收敛还是条

2、件收敛．选择实例对给出的判别准则的可行性进行了检验．关键词：交错级数；判别准则；收敛；发散中图分类号：O173.1文献标识码：A1引言及预备知识考虑如下的交错级数∞n−1n−1∑(−1)un=u1−u2+L+(−1)un+L（1）n=1其中：un≥0(n=1,2,L)．交错级数是数学分析和高等数学中的重要内容之一，在许多教材中，关于交错级数（1）收敛性判别，只介绍了莱布尼兹定理，这个定理只能判别交错级数（1）的收敛，不能判别是绝对收敛还是条件收敛，而[1-3]且也没给出判别交错级数（1）的发散条件．对于

3、这个问题许多学者进行了深入的研究，本文针对级数（1），给出一个新的判别方法，该方法不仅能够判别级数（1）的敛散性，而且也能够判别在收敛时是绝对收敛还是条件收敛．[4]17引理1如果级数（1）满足：u>u(n=1,2,L)，limu=0，则级数（1）收敛且其和s≤u．nn+1n1n→∞∞1[4]13引理2调和级数∑，当p>1时，收敛；当p≤1时，收敛．pn=1nnn[5]∞⎛u⎞⎛u⎞⎜n⎟⎜n⎟引理3对于正项级数∑un(un>0)，令Rn=⎜⎟，若nlim→∞Rn=nlim→∞⎜⎟=ρ，则当ρ>e时，n

4、=1⎝un+1⎠⎝un+1⎠∞∞正项级数∑un(un>0)收敛；当ρ1时级数（1）收敛，且1<ρe时绝对收敛；（2）当ρ<1时级数（1）发散．收稿日期：2008-10-10基金项目：辽宁省教育厅基金资助项目（2004C058）作者简介：钱伟懿（1963-），男，辽宁锦州人，教授，博士，

5、从事最优化理论与应用及数学分析研究．E-mail：qianweiyi@eyou.com第2期钱伟懿：交错级数敛散性的一个新判别准则9n⎛u⎞⎛u⎞⎜n⎟⎜n⎟n证明（1）当ρ>1时，由极限保号性，存在自然数N′，当n>N′时，有>1，即>1=1，⎜u⎟⎜u⎟⎝n+1⎠⎝n+1⎠所以u>u，从而当n>N′时，{u}单调下降．nn+1nn⎛un⎞ρ−1由于limRn=lim⎜⎜⎟⎟=ρ，对任给正数ε<，存在自然数N，当n>N时，有ρ−ε

6、+1⎞n⎜⎟<ρ+ε，即(ρ−ε)<⎜⎟<(ρ+ε)，亦即un>(ρ−ε)un+1=⎜⎟un+1．于是，对任意自⎝un+1⎠⎝un+1⎠⎝2⎠111111⎛ρ+1⎞N⎛ρ+1⎞N⎛ρ+1⎞N+1⎛ρ+1⎞N⎛ρ+1⎞N+1⎛ρ+1⎞N+m−1然数m，有uN>⎜⎟uN+1>⎜⎟⎜⎟uN+2>L>⎜⎟⎜⎟L⎜⎟uN+m，⎝2⎠⎝2⎠⎝2⎠⎝2⎠⎝2⎠⎝2⎠uN111ρ+1从而0≤u<．由引理2，知lim++L+=+∞，又由于>1，N+m111m→∞NN+1N+m−12++L+⎛ρ+1⎞NN+1N+m−1⎜⎟

7、⎝2⎠uN所以mlim111=0，由迫敛性定理mlim→∞uN+m=0，从而nlim→∞un=0，由引理1知级数（1）→∞++L+⎛ρ+1⎞NN+1N+m−1⎜⎟⎝2⎠收敛．由引理3知，当1<ρe时，级数（1）绝对收敛n⎛u⎞⎛u⎞⎜n⎟⎜n⎟n（2）当ρ<1时，由极限保号性，存在自然数N，当n>N时，有<1，即<1=1，所⎜u⎟⎜u⎟⎝n+1⎠⎝n+1⎠以un

8、的实例．∞(2n−1)!!1n−1例1判别级数∑(−1)1+的敛散性．n=1(2n)!!nn11n2(2n+1)−(2n−1)!!1⎛2n+2⎞⎛n+2n+1⎞2⎛1⎞22解令un=1+，则Rn=⎜⎟⎜⎜2⎟⎟，由于ρ=limRn=lim⎜1+⎟(2n)!!n⎝2n+1⎠⎝n+2n⎠n→∞n→∞⎝2n+1⎠21(n+2n)−111∞⎛1⎞2n22n−1(2n−1)!!1⎜1+⎟=e⋅1=e，由定理知级数∑(−1)1+条件收敛．2⎝n+2n⎠