线性代数单元辅导四

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1、cfe12d7e0c2621706305fa36d57385ba.doc第8页共8页《线性代数》单元辅导四第三章线性方程组一、基本要求1.掌握线性方程组有解的充分必要条件2.了解线性方程组解的结构，会求解线性方程组3.会利用线性方程组的性质证明有关问题二、内容提要1.线性方程组的概念线性方程组的一般形式为（1）若记，则线性方程组（1）记为，（2）并称其为非齐次线性方程组；若的元素全为零，即，则（3）并称其为齐次线性方程组，也称作（1）的导出方程组，称为线性方程组（1）的增广矩阵，记作2.齐次线性方程组解的性质与解的结构（1）n元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是（2）n元齐次线性方程组的基

2、础解系设是的一组解，如果满足1）线性无关2）的任一解都能表示成的线性组合cfe12d7e0c2621706305fa36d57385ba.doc第8页共8页则称为齐次线性方程组的一个基础解系（3）齐次线性方程组有非零解时，它一定有基础解系，并且基础解系所含解的个数等于n－r，其中r表示系数矩阵的秩（4）齐次线性方程组的解的线性组合仍是该方程组的解（5）齐次线性方程组有非零解是，求出其基础解系，该方程组的通解可表示为其中为任意常数3、非齐次线性方程组解的性质与解的结构（1）非齐次线性方程组有解充分必要条件是（2）如果是非齐次线性方程组的一个特解，是其对应当齐次线性方程组的一个解（即导出方程组的一

3、个解），则也为的解（3）如果是导出方程组的一个基础解系，是此方程组的一个特解，则的通解为其中为任意常数（4）对于1）若，则有唯一解2）若，则有无穷解3）若，则无解三.例题分析1.设X为n维列向量，则齐次线性方程组仅有零解的充分必要条件是（）解：当时，齐次线性方程组仅有零解2.齐次线性方程组只有零解，则满足条件（）解：因为方程组只有零解充分必要系数矩阵的行列式cfe12d7e0c2621706305fa36d57385ba.doc第8页共8页所以有3.若线性方程组有解，则常数满足条件（）解：由方程组有解及由此可知，应有4.设任意一个n维向量都是下列齐次线性方程组的解则（）解：原齐次线性方程组可以

4、改写为因为任何一个n维向量都是上述方程组的解，依次取cfe12d7e0c2621706305fa36d57385ba.doc第8页共8页代入上式解得故5.若方程组有无穷多解，则（）解：对增广矩阵作初等变换得由方程组有无穷多解的条件，显然时此时方程组有无穷多解6.设A为m×n矩阵，则齐次线性方程组仅有零解的充要条件是（）A．系数矩阵的行向量线性相关B．系数矩阵的列向量线性相关C．系数矩阵的行向量线性无关D．系数矩阵的列向量线性无关解：仅有零解（未知量个数），A有n个m维列向量，因为向量组的向量个数＝向量组的秩时，向量组线性无关，故应选D7.设A是m×n矩阵，是非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程

5、组，则下列结论正确的是（）A．若仅有零解，则有无穷多解B．若有非零解，则有无穷多解C．若有无穷多解，则有无穷多解D．若有无穷多解，则仅有零解解：非齐次线性方程组有无穷多解（或唯一解）可推出有非零解（仅有零解）而有无穷多解（或零解）推不出有解（或唯一解）故应选D8.设A为m×n矩阵，齐次线性方程组有非零解的充要条件是（）A．系数矩阵A的任意两个列向量线性相关B．系数矩阵A的任意两个列向量线性无关C．必有一个列向量是其余列向量的线性组合D．任一列向量是其余向量的线性组合解：有非零解矩阵A的n个m维列向量线性相关而，一个向量线性相关cfe12d7e0c2621706305fa36d57385ba.d

6、oc第8页共8页必有一个向量是其余向量的线性组合，故选C9.设A为m×n矩阵，且m

7、故C不对，则只有D正确11.求解齐次线性方程组解：对系数矩阵作初等变换因为，故方程组有无穷多解，其同解方程组为分别取和得和cfe12d7e0c2621706305fa36d57385ba.doc第8页共8页从而得得出基础解系故方程组的通解为，为任意常数12.求下列非齐次线性方程组的通解解：对增广矩阵作初等行变换化为行最简式因为，所以方程组有无穷多解，同解方程组为令，得其一特解其所对应的齐次线性方程