非线性超弹性体应力应变张量与应变能函数之间的微积分关系

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1、万方数据第40卷第2期太原理工大学学报V01．40No．22009年3月JoURNALoFTATYUANUNIVERSITYOFTECHN()I。()GYMar．2009文章编号：1007—9432(2009)02—0188—04非线性超弹性体应力应变张量与应变能函数之问的微积分关系李忱1’2，杨桂通1(1．太原理工大学应用力学研究所，山西太原030024；2．山西大学工程学院，山西太原030013)摘要：研究非线性超弹性体应力与应变能函数之间的关系，等比例加载方法不再适用，因为剪应变要产生正应力，正应变也要产生剪应力。为此，构建了应力应变张量与应变能函数之间的

2、微分、积分关系。从表示定理出发，围绕共轭应力、应变变量，研究了各向同，l生、横观各向同性、正交各向异性非线性超弹性体的本构方程、应变能函数，推导了应力应变张量与应变能函49c-之．．间的微分、积分关系。应用微分积分关系，对应力张量函数直接积分，即可得到应变能函数。这种方法具有普适性，简洁性，能进一步拓宽解决非线性超弹性体问题的途径。关键词：非线性；超弹性体；本构方程；应变能函数；微积分中图分类号：0343．5文献标识码：A在研究非线性超弹性材料本构方程时，人们经常采用先假设具体应变能函数，而后对应变能函数微分来推导本构方程，只是针对具体的问题就事论事。笔者将上述

3、方法归纳为应力张量应变能函数微分普适性定理，同时推导出与其等价的应力张量应变能函数积分普适性定理。即先导出本构方程，然后通过应力一势函数的积分关系推导势函数。并对各向同性、横观各向同性、正交各向异性材料进行了具体研究。1非线性各向同性弹性体根据表示定理，由共轭应力应变张量K，E表示的各向同性介质本构方程为：K一伽J+291E+3tp2E2．(1)式中：伽，卯，≯。是E的三个主不变量J1，J2，J。或E的迹，l—trE，12一trE2，工3一trE3的函数；J为单位矢量。我们可以建立Green弹性体共轭应力应变张量K，E与应变能函数w之间的积分关系和微分关系。定理

4、1非线性各向同性超弹性体应力张量K与应变能函数存在如下积分关系：w(E)一．fK：dE=l伽d工1+垆ldl2+q，2d13．(2)证明因为E是对称的，K是对称的，故有fJ：dE一瓯dEⅡ一dE—d11，<2E：dE=2EvdEo—d(EoE一)一dIz，【3E2：dE一3E。E止dE蔚一d(EdE业E矗)=d_3．(3)因为dE是任意，故有：面dIl=J，盏=2E，盖=3E2．(4)面一“面一弛’面一汕‘H7将(1)式、(3)式代入w(E)=IK：dE得：Ⅳ(E)=卜：dE=I(伽1+2驴lE+3伫E2)．dE—I伽dfl+妒ldJ2-F伫dj3．证毕。定理2

5、非线性各向同性超弹性体应力张量K与应变能函数W存在如下微分关系：K一署J+2爰E+3O瓦WE2．(5)aIla12aIl’一收稿日期；2008—09—03基金项目：山西省自然科学基金资助项目(2008011007)作者简介：李忱(1959一)，男。浙江东阳人，博士生，教授，主要从事固体力学、材料本构理论研究，(Tel)0351--2646202通讯联系人：杨桂通，男，教授，博导，(Tel)035l～6010672万方数据第2期李忱等：非线性超弹性体应力应变张量与应变能函数之间的微积分关系189证明K一卷=3Wd11．3Wd123Wd138一11dE。a了：dE’

6、a了。dE‘将(4)式代人(6)式得(5)式。证毕。量K与应变能函数W存在如下积分关系：Ⅳ(E)=rK：dE：f伽d了。+卵d_2十(6)。一。仍d13+．90,dJl+弘dJ2．(9)证明对于横观各向同性超弹性体2非线性横观各向同性弹性体研究横观各向同性材料，这种材料也具有三个相互垂直的弹性性能对称面。其中一个平面是各向同性的，设a为横观各向同性材料各向同性面的单位法向量，则a是张量不变量。横观各向同性材料的对称性限制了应力张量K，可以表征为5个张量不变量和5个标量不变量(而非E的6分量)的函数。形式如下：K—K(J，E，E2，砸，aaE+Eaa，trE，tr

7、E2，trE3，a·E·a，a·E2·口)．(7)上述表征是完备的，不可约的。下面研究(7)式的具体形式。令{ei)为笛卡尔坐标系的自然基向量，引入：％：=口1oel，勃：=P1o也+P2oel，岛：一e2oe2，巳：一e2oP3+e3o口2，以：=P3oe3，P，：=P3o岛+e1oP3．{P)a—a，⋯，，构成了2阶对称张量空间Sym正交基，定义n=P。，采用简记符号，即如下定义下标：1—11，2—22，3—33，4—12，21，5—23，32，6—13，31．对于Green弹性体的张量不变量有：1=厶+岛+岛=口1oel+勃oe2+P3oe3，E—E1e。

8、+EzCb+E3ec+E