矩阵和行列式初步

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1、2008学年高二数学教案第九章矩阵和行列式初步格致中学王国伟9.1矩阵的概念（2）[教学目标]1、掌握矩阵的三种基本变换；2、掌握运用矩阵基本变换求线性方程组的解。[教学重点]运用矩阵基本变换求线性方程组的解。[教学难点]如何利用系数矩阵判断线性方程组是否有解。[教学过程]一、复习引入：根据下列增广矩阵，写出其对应的线性方程组，并分析这些增广矩阵所对应线性方程组解的关系，从中你能得到哪些启发？（1）（2）（3）（4）（5）（6）解：这些方程组为；；；；；。这些增广矩阵所对应的线性方程组的解都是相同的。二、新课讲解：通过上面练习，我们可以发现以下三

2、个有关线性方程组的增广矩阵的基本变换：（1）互换矩阵的两行；（2）把某一行同乘（除）以一个非零的数；（3）某一行乘以一个数加到另一行。2008学年高二数学教案显然，通过以上三个基本变换，可将线性方程组的系数矩阵变成单位矩阵，这时增广矩阵的最后一个列向量给出了方程组的解。三、应用举例：例1、已知每公斤五角硬币价值132元，每公斤一元硬币价值165元，现有总重量为两公斤的硬币，总数共计462个，问其中一元与五角的硬币分别有多少个？（来自网上“新鸡兔同笼问题”）解：设一元硬币有个，五角硬币有个，则根据题意可得：①加到②①不变则该方程组的增广矩阵为，设①

3、、②分别表示矩阵的第1、2行，对矩阵进行下列变换：②①不变②①不变②加到①②不变由最后一个矩阵可知：答：一元硬币有110个，五角硬币有352个。例2、用矩阵变换的方法解三元一次方程组的解。解：此方程对应的增广矩阵为：设此矩阵第1、2、3行分别为①、②、③，对此矩阵进行下列变换：②加到①②加到③②不变③①、②不变③加到②③加到①③不变2008学年高二数学教案①加到②①加到③①不变①②、③不变交换②、③①不变，此方程组的解为说明：1、利用矩阵基本变换，将矩阵的每一个行向量所对应的方程只有一个变量；2、在变换过程中，实际为加减消元的过程，此过程中应根据

4、数字的特点，运用适当的程序进行化简运算。例3、运用矩阵变换方法解方程组：（、为常数）②加到①①不变解：此方程组对应的增广矩阵为：，设①、②分别表示此矩阵的第1、2行，对此矩阵进行下列变换：ⅰ）当，即时，以上矩阵可作如下变换：①加到②①不变①②不变②①不变，此时方程有唯一解；ⅱ）当即时，若即时，方程组无解；ⅲ）当即时且时，方程组有无穷多解，它们均符合。说明：（1）符合情况ⅰ）时，方程组有唯一解，此时两个线性方程所表示的直线相交；2008学年高二数学教案（2）符合情况ⅱ）时，两个线性方程所表示的直线平行，此时方程组无解；（3）符合情况ⅲ）时，两个线性

5、方程所表示的直线重合，此时方程组有无穷多解。四、课堂练习：用矩阵变换方法解下列问题：（1）若方程组的解与相等，求的值。解：解得，由题意知：求得：。（2）有黑白两种小球各若干个，且同色小球质量均相等，在如下图所示的两次称量的天平恰好平衡，如果每只砝码质量均为克，每只黑球和白球的质量各是多少克？第一次称量第二次称量解：设黑球和白球的质量各为、千克，则由题意知：通过矩阵变换解得：黑球每个3千克，白球每个1千克。（3）解方程组：解：即方程组的解为。五、小结：2008学年高二数学教案本课学习了利用矩阵的三种基本变换求解线性方程组的解，此方法的实质为加减消元

6、法解线性方程组，通过基本变换，将方程组对应的增广矩阵的系数矩阵化为单位矩阵，则最后一个列向量即为方程组的解。在运算过程中要注意各行系数之间的关系，尽量用最简洁的途径化简。六、作业：习题册P45习题9.1A组3；P46习题9.1B组2。