概率论与数理统计 第4章奇数

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1、注意：这是第一稿（存在一些错误）第四章概率论习题__奇数.docNN1解每次抽到正品的概率为：，放回抽取，抽取n次，抽到正品的平均次数为：nMM+∞+∞x12+∞3解由于：xfxdx()=2dx=ln(1+x)

2、=+∞∫−∞∫020π(1+x)π所以X的数学期望不存在。5解每次向右移动的概率为p，到时刻n为止质点向右移动的平均次数，即η的期望为：nE()η=npn时刻n质点的位置S的期望为：ES()=npn−(1−p)=n(2p−1)nn7解方法1：由于PT(≥0)1=，所以T为非负随机变量。于是有：+∞+∞+∞1−t−t3ET()=∫0(1−Ftdt())=∫0PT(>tdt

3、)=∫0e(1+e)dt=24方法二：由于PT(≥0)1=，所以，可以求出T的概率函数：⎧0,t<0⎪ft()=⎨1−t−t⎪e(12+e),t≥0⎩2+∞+∞3于是Et()=∫tftdt()=∫tftdt()=−∞049．解设棍子上的点是在[0,1]之间的，Q点的位置距离端点0的长度为q。设棍子是在t点处跌断，t服从[0,1]的均匀分布。于是：包含Q点的棍子长度为T，则：⎧tq,<

4、)每个人化验一次，需要化验500次500k（II）分成k组，对每一组进行化验一共化验次，每组化验为阳性的概率为：10.7−，k若该组检验为阳性的话，需对每个人进行化验需要k次，于是该方法需要化验的次数为：500k(1(10.7))+−k。k500k1k将（II）的次数减去（I）的次数，得：(1(10.7))500+−k−=500(−0.7)kk于是：1k1k当−0.7<0时，第二种方法检验的次数少一些；当−0.7>0时，第一种方法检验的kk1k次数少一些；当−0.7=0时，二种方法检验的次数一样多。k13、解由题意知：⎧1⎧2⎧2⎪,,xy在圆内⎪,−

5、2fxy(,)=⎨πr，f()x=⎨πr，fx()=⎨πrXY⎪⎩0，其他值⎪⎩0，其他值⎪⎩0，其他值r2（1）计算可得EX()=EY()=∫xdx=0−rπr22（2）A的位置是（x，y），距中心位置（0，0）的距离是：x+y，于是所求的平均距离为：222212rE(X+Y)=x+ydxdy=∫∫2222πr3x+y≤r⎧12222fxy(,)⎪,−r−x

6、)yx==⎨2rYX

7、f()xX⎪0⎩，其他值3rf(,)y⎧1rr3r2⎪,−

8、y)==⎨2r22YX

9、23r⎪fX()⎩0，其他值2于是：r3r1EYX(

10、=)=2ydy=0∫r2−

11、2r217、解ak∞kλα−1−λxΓ(α+k)19、解EX()=xxedx=,(k≥1)∫0Γ()αλkΓ()αaa∞2λα−1−λx∞λα−1−λx2Γ(α+2)Γ(α+1)2αDX()=xxedx−[xxedx]=−[]=∫0Γ()α∫0Γ()αλ2Γ()αλαΓ()λ221、解(1)设p表示从产品取到非正品的概率，于是有：p=(198%)*0.70.2*(190%)0.1*(174%)−+−+−=0.06，用X表示产品中非正品数，X服从二项分布B(100，0.06)，有：100EX()=∑kPX(=k)1000.06=×=6k=0DX()100(1=p−p)=5.64（

12、参考77页的例4.2.5）（3）用Y表示在该条件下正品数，Y服从二项分布B(100,0.98)，于是EY()1000.9898=×=DX()1000.98(10.98)1.96=××−=23、解证明：22222DXY()=E((XY))−((EXY))=EXY()−((EXY))222=EX()(EY)−((EXEY)())(由于XY,相互独立)2222=(DX()+EX())((⋅DY+EY())−EX()EY()22=DX()⋅DY()+((EX))⋅DY()+(())EY⋅DX()25、解（1）由相关系数的定义，得：CovXX(,)ρ=，其中CovXX(,)=EXX()−

13、EXEX()()XXDX()DX()通过计算得CovXX(,)=0，即ρ=0，从而说明XX,是不相关的。XX（2）很显然，X与X不是相互独立的。27、解（1）由题意得：ππππππEA()=λ+θ+(1−−λθ)=−λ−θ3466612ππππππE(sin)A=sin−λsin−θsin，E(cos)A=cos−λcos−θcos6612661211结合已知条件，可求出：λ=，θ=42由于A和B是独立同分布的，于是（A,B）的联合分布律为：πππABP(A=i)346π1/161/81/1