离散频率域变换

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1、第四章离散频域变换u1.序列的傅里叶变换（DTFT)一．定义DTFT:Discrete-timeFouriertransform为研究离散时间系统的频率响应作准备，从抽样信号的傅里叶变换引出：与z变换之关系逆变换表示二．傅氏变换、拉氏变换、z变换的关系1. 三种变换的比较2.频率的比较3.s平面虚轴上的拉氏变换即为傅氏变换4.z平面单位圆上的z变换即为序列的傅氏变换（DTFT）1．三种变换的比较变换名称傅里叶变换拉普拉斯变换z变换信号类型变量2．频率的比较模拟角频率，量纲：弧度/秒；数字角频率，量纲：弧度；是周期为的周期函数关系：3．s平面虚轴上

2、的拉氏变换即为傅氏变换4.　z平面单位圆上的z变换即为序列的傅氏变换（DTFT）u2、周期序列的傅里叶级数展开和傅里叶变换之间的问题假定是一个长度为N的有限长序列，将以N为周期延拓而成的周期序列为，则有或表示为。于是与的关系表示为：将表示为离散时间傅里叶级数有：其中是傅里叶级数的系数，这样做的目的是使其表达形式与离散时间傅里叶变换的形式相类似。如果将的主值周期记为，，由于以上两式中的求和范围均取为区间0~N-1，在次区间内=，因此可以得到：，，表明时域N点有限长序列可以变换成频域N点有限长序列。显然，DFT与DFS之间存在以下关系：u3离散傅里叶

3、变换(DFT)的推导(1)时域抽样：目的：解决信号的离散化问题。效果：连续信号离散化使得信号的频谱被周期延拓。(2)时域截断：原因：工程上无法处理时间无限信号。方法：通过窗函数(一般用矩形窗)对信号进行逐段截取。结果：时域乘以矩形脉冲信号，频域相当于和抽样函数卷积。(3)时域周期延拓：目的：要使频率离散，就要使时域变成周期信号。方法：周期延拓中的搬移通过与的卷积来实现。表示：延拓后的波形在数学上可表示为原始波形与冲激串序列的卷积。结果：周期延拓后的周期函数具有离散谱。(4)经抽样、截断和延拓后，信号时域和频域都是离散、周期的。过程见图1。图1DF

4、T推导过程示意图(5)处理后信号的连续时间傅里叶变换：(i)是离散函数，仅在离散频率点处存在冲激，强度为，其余各点为0。(i)是周期函数，周期为，每个周期内有个不同的幅值。(ii)时域的离散时间间隔(或周期)与频域的周期(或离散间隔)互为倒数。2DFT及IDFT的定义(1)DFT定义：设是连续函数的个抽样值，这N个点的宽度为N的DFT为：(2)IDFT定义：设是连续频率函数的个抽样值，这N个点的宽度为N的IDFT为：(3)称为N点DFT的变换核函数，称为N点IDFT的变换核函数。它们互为共轭。(4)同样的信号，宽度不同的DFT会有不同的结果。DF

5、T正逆变换的对应关系是唯一的，或者说它们是互逆的。(5)引入(i)用途：(a)正逆变换的核函数分别可以表示为和。(b)核函数的正交性可以表示为：(c)DFT可以表示为：(d)IDFT可以表示为：(ii)性质：周期性和对称性：(a)(b)(c)(d)(e)(f)3离散谱的性质(1)离散谱定义：称为离散序列的DFT离散谱，简称离散谱。(2)性质：(i)周期性：序列的N点的DFT离散谱是周期为N的序列。(ii)共扼对称性：如果为实序列，则其N点的DFT关于原点和N/2都具有共轭对称性。即；；(iii)幅度对称性：如果为实序列，则其N点的DFT关于原点和

6、N/2都具有幅度对称性。即；；(1)改写：(i)简记为(ii)简记为(iii)DFT对简记为：或(iv)(v)4DFT总结(1)DFT的定义是针对任意的离散序列中的有限个离散抽样的，它并不要求该序列具有周期性。(2)由DFT求出的离散谱是离散的周期函数，周期为、离散间隔为。离散谱关于变元k的周期为N。(3)如果称离散谱经过IDFT所得到的序列为重建信号，，则重建信号是离散的周期函数，周期为(对应离散谱的离散间隔的倒数)、离散间隔为(对应离散谱周期的倒数)。(4)经IDFT重建信号的基频就是频域的离散间隔，或时域周期的倒数，为。(5)实序列的离散谱

7、关于原点和(如果N是偶数)是共轭对称和幅度对称的。因此，真正有用的频谱信息可以从0~范围获得，从低频到高频。(6)在时域和频域范围内的N点分别是各自的主值区间或主值周期。5DFT性质(1)线性性：对任意常数()，有(2)奇偶虚实性：(i)DFT的反褶、平移：先把有限长序列周期延拓，再作相应反褶或平移，最后取主值区间的序列作为最终结果。(i)DFT有如下的奇偶虚实特性：奇奇；偶偶；实偶实偶；实奇虚奇；实(实偶)+j(实奇)；实(实偶)·EXP(实奇)。(1)反褶和共轭性：时域频域反褶反褶共轭共轭＋反褶共轭＋反褶共轭(2)对偶性：(i)把离散谱序列当

8、成时域序列进行DFT，结果是原时域序列反褶的N倍；(ii)如果原序列具有偶对称性，则DFT结果是原时域序列的N倍。(3)时移性：。序列的