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1、第七章直线与圆的方程两直线的位置关系第讲（第二课时）1题型4求直线的方程1.已知等腰直角三角形ABC中，C=90°，直角边BC在直线2x+3y-6=0上，顶点A的坐标是(5，4)，求边AB和AC所在的直线方程.2解：由题知直线BC的斜率kBC=-，又因为直线AC与直线BC垂直，所以直线AC的方程为y-4=(x-5),即3x-2y-7=0.因为∠ABC=45°，所以解得kAB=-5或kAB=,3所以AB边所在的直线方程为y-4=(x-5)或y-4=-5(x-5),即x-5y+15=0或5x+y-29=0.点评：求直线方程的关键是找到
2、两个独立条件,求得相应的两个参数.本题中已知直线过一个点,求得直线的斜率即可根据点斜式求得直线方程.利用等腰直角三角形的性质,得到kAC·kBC=-1,且∠ABC=45°,再利用夹角公式,求得直线AB的斜率,进而得到直线AB的方程.4等腰三角形一腰所在的直线l1的方程是x-2y-2=0，底边所在的直线l2的方程是x+y-1=0，点(-2，0)在另一腰上，求这腰所在直线l3的方程.解：设l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，l1到l2的角是θ1，l2到l3的角是θ2，则k1=k2=-1，5因为l1,l2,l3所围成的三角形是
3、等腰三角形，所以θ1=θ2，tanθ1=tanθ2=-3，即即解得k3=2.又因为直线l3经过点(-2，0)，所以直线l3的方程为y=2(x+2)，即2x-y+4=0.62.一条光线经过点P(2,3)射在直线l:x+y+1=0上，反射后穿过点Q(1，1).(1)求入射光线所在直线的方程;(2)求这条光线从P到Q所经过的距离.解：(1)如图所示，设点Q′(x′,y′)为Q关于直线l的对称点,且QQ′交l于M点.因为kl=-1,所以kQQ′=1，所以QQ′所在直线的方程为x-y=0.题型5对称性问题7由得点M的坐标为又因为M为QQ′的
4、中点，由此得得Q′(-2，-2).设入射光线与l的交点为N,且P、N、Q′共线,得入射光线的方程为即5x-4y+2=0.8(2)因为l是QQ′的垂直平分线,因而
5、NQ
6、=
7、NQ′
8、,所以
9、PN
10、+
11、NQ
12、=
13、PN
14、+
15、NQ′
16、=
17、PQ′
18、即这条光线从P到Q所经过的距离是9点评:涉及到对称性问题,一般有点关于点对称、点关于直线对称、直线关于直线对称等类型.如求点P(a,b)关于直线ax+by+c=0的对称点的坐标的步骤:(1)设所求的对称点P′的坐标为(x0,y0),则PP′的中点一定在直线ax+by+c=0上;(2)直线PP′与直
19、线ax+by+c=0的斜率互为负倒数,即10已知两点A(2，3)、B(4，1)，直线l：x+2y-2=0，在直线l上求一点P.(1)使
20、PA
21、+
22、PB
23、最小；(2)使
24、PA
25、-
26、PB
27、最大.解：(1)可判断A、B在直线l的同侧，设点A关于l的对称点A1的坐标为(x1，y1).则有解得由两点式可得直线A1B的方程为11所以直线A1B与l的交点为由平面几何知识可知此时
28、PA
29、+
30、PB
31、最小.(2)由两点式求得直线AB的方程为y-1=-(x-4)，即x+y-5=0.所以直线AB与l的交点为P(8，-3)，它使
32、PA
33、-
34、PB
35、最大.12
36、3.已知斜率为2的直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，且
37、AB
38、=点C(a，0)为x轴上一动点，若△ABC的面积不小于9，求a的取值范围.解：设直线l的方程为y=2x+m,代入y2=4x,得(2x+m)2=4x，即4x2+4(m-1)x+m2=0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则因为
39、AB
40、=所以即
41、x1-x2
42、=3，所以(x1+x2)2-4x1x2=9.题型6求变量的取值范围13于是(1-m)2-m2=9，解得m=-4.此时，Δ=16(m-1)2-16m2＞0.所以直线l的方程是y=2x-4，即2x-y-4=0.设
43、点C到直线l的距离为d，则d=因为S△ABC≥9,所以即所以
44、2a-4
45、≥6，解得a≥5或a≤-1.故a的取值范围是(-∞，-1］∪［5，+∞).点评:求参数的取值范围问题,一般是先根据条件得出参数的函数式或相应的不等式(组),再求得参数的取值范围.14在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q.则k的取值范围是_____.解：由条件知，直线l的方程为y=kx+，将其代入椭圆方程得整理得因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q，所以解得k＜-或k＞.即k的取值范围为(-∞，-)∪(，+∞)
46、.15已知直线l:(a+2)x+(1-2a)y+4-3a=0.(1)求证：直线l经过第三象限;(2)若直线l不经过第二象限，求a的取值范围.解:(1)证明:l的方程可化为(2x+y+4)+a(x-2y-3)=0.令得所以直线l过定点P(-1,-2)
