第九章SECTION6方阵的若当标准形

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1、§6方阵的若当标准形一、不变子空间设L为一个实（或复）线性空间V的一个线性变换，S为V的一个子空间，若，则称S为关于L的一个不变子空间.设是n维线性空间V的一个线性变换L的不变子空间，V可以用它们的直和：来表示的充分必要条件是：在某基底下线性变换L对应的矩阵A可化为分块对角矩阵式中的阶数分别等于的维数.二、方阵的标准化[若当块与若当标准方阵]形为的m阶方阵称为若当块，式中是一特征值.一个方阵的分块矩阵在主对角线上的子阵都是若当块，而其余的子阵都是零矩阵，即（1）则称其为若当标准方阵或若当标准形.注意，不同块里的这些未必两两不同.[方阵的标准化]1

2、o特征值都不同的情形若一个方阵A的特征值都不相等，则A可以化为对角矩阵，它的主对角线上的元素就是这些特征值：2o特征值有相等的情形任意方阵A都可以化为与它相似的若当标准形（1），其中是它的特征值，是特征值的重数.如不计若当块的次序，则A的标准形是唯一的.当且仅当一切若当块的阶都等于1时，可化为对角矩阵.这就是1o的情形.以上说明，假定A是一个方阵，那末总可找到一个非奇异的方阵T，使得方阵与A相似.三、方阵标准化的方法与步骤[λ矩阵]假定一个n阶方阵A的元素都是变数λ的复系数多项式则称为λ矩阵.一个λ矩阵的不恒等于零的子式的最高阶数r称为的秩.[不

3、变因子与初等因子]设r为的秩，k是正整数，为的一切k阶子式的最高公因式，则是一个的多项式，规定的最高次项系数是1；此外规定称为的不变因子.把每个分解为一次因子，得到式中指数有的可能是零，当时，称为的一个初等因子.[初等变换·矩阵的等价]对λ矩阵的下列三种变换的有限次组合称为的初等变换.（i）任何两行（列）互换；（ii）把任何一行（列）的各元素乘上同一个λ的多项式后加到另一行（列）的相应的元素上；（iii）把任何一行（列）的元素乘上同一个不等于零的复数.应当指出，适当地施行（ii），（iii）两种变换可以得到（i）.若可由经过有限次初等变换得到，则

4、称与等价，记作.λ矩阵经过初等变换后，其不变因子和初等因子都不变.[λ矩阵的标准形]设λ矩阵的秩为r，不变因子为，则称右边的方阵为的标准形.它是由唯一确定的.等价的λ矩阵具有相同的标准形.[特征矩阵]方阵A的特征矩阵是一个特殊的λ矩阵.所以1o若的初等因子为其中各未必两两不同，则且有2o如果n阶λ矩阵其中，则式中J为A的若当标准形.3o若A的特征矩阵的初等因子为则J为A的若当标准形.[方阵标准化的步骤]把方阵A化为A的若当标准形的步骤如下：(1)利用初等变换把化为对角矩阵，分解对角线上的多项式，就得到的全部初等因子.(2)相应于每个初等因子，作出

5、一个m阶的若当块(3)把全部若当块合并起来就得到A的若当标准形.例1求方阵的若当标准形.解容易求出它的不变因子为1，1，，所以初等因子是，因此得到A的若当标准形例2求方阵的若当标准形.解经过初等变换可以把它化为如下形式的对角线矩阵所以初等因子为，，相应的若当块为所以A的若当标准形为