高等代数§9.6对称矩阵的标准形

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1、§9.6对称矩阵的标准形一、实对称矩阵的一些性质二、对称变换三、实对称矩阵可正交相似于实对角矩阵四、实二次型的主轴问题一、实对称矩阵的一些性质引理1设A是实对称矩阵，则A的特征值皆为实数．证：设是A的任意一个特征值，则有非零向量满足其中为的共轭复数，令又由A实对称，有由于　是非零复向量，必有故考察等式，引理2设A是实对称矩阵，在n维欧氏空间　上定义一个线性变换　如下：则对任意　　　　　有或证：取的一组标准正交基，则　在基　下的矩阵为A，即任取即于是又　　　　是标准正交基，即有又注意到在　中二、对称变换1．定义则称　为对称变换．设

2、　为欧氏空间V中的线性变换，如果满足1）n维欧氏空间V的对称变换与n级实对称矩阵在标准正交基下是相互确定的：2．基本性质①实对称矩阵可确定一个对称变换．一组标准正交基．事实上，设为V的定义V的线性变换　：则　即为V的对称变换．②对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵．为V的一组标准正交基，事实上，设　为n维欧氏空间V上的对称变换，为在这组基下的矩阵，即或于是即所以A为对称矩阵．由　是对称变换，有2）（引理3）对称变换的不变子空间的正交补也是它的不变子空间．对任取即证明：设　是对称变换，W为　的不变子空间．要证即证由W是　子空间

3、，有因此故　也为　的不变子空间．1．(引理4)实对称矩阵属于不同特征值的特征向量分别是属于的特征向量．则三、实对称矩阵的正交相似对角化是正交的．正交基下的矩阵，证：设实对称矩阵A为　上对称变换　的在标准是A的两个不同特征值，由又即正交．(定理7)对　　　　　　　总有正交矩阵T，使有即２．证：设A为　上对称变换　在标准正交基下的矩阵．由实对称矩阵和对称变换互相确定的关系，只需证有n个特征向量作成的标准正交基即可．n=1时，结论是显然的．对　的维数n用归纳法．有一单位特征向量，其相应的特征值为，即假设n－1时结论成立，对设其上的对称

4、变换设子空间显然W是　子空间，则也是子空间，且又对　　　　　　　有所以　　是　上的对称变换．由归纳假设知有n－1个特征向量构成的一组标准正交基．从而　　　　　　　就是　的一组标准正交基，又都是的特征向量．即结论成立．3．实对称矩阵正交相似实对角矩阵步骤设(i)求出A的所有不同的特征值：其重数必满足;(ii)对每个，解齐次线性方程组求出它的一个基础解系：它是A的属于特征值的特征子空间　的一组基．正交基把它们按正交化过程化成　的一组标准(iii)因为互不相同，且就是V的一组标准正交基．所以则T是正交矩阵，且将的分量依次作矩阵T的第1

5、，2，…，n列，使　　　　　　为对角形．例1．设求一正交矩阵T使成对角形．解：先求A的特征值．A的特征值为（三重）,其次求属于的特征向量，即求解方程组得其基础解把它正交化，得再单位化，得这是特征值(三重)的三个单位正交特征向量，也即是特征子空间　的一组标准正交基．再求属于　　　的特征向量，即解方程组得其基础解再单位化得这样　　　　　构成　的一组标准正交基，它们都是A的特征向量，正交矩阵使得注：成立的正交矩阵不是唯一的．①对于实对称矩阵A，使而且对于正交矩阵T,还可进一步要求事实上，如果由上述方法求得的正交矩阵T取正交矩阵则是正交

6、矩阵且同时有②如果不计较主对角线上元素的排列的次序，与实对称矩阵A正交相似的对角矩阵是唯一确定的．③因为正交相似的矩阵也是互相合同的，所以可用实对称矩阵的特征值的性质刻画其正定性：设　　为实对称矩阵A的所有特征值(i)A为正定的(ii)A为半正定的(iii)A为负定（半负定）的(iv)A为不定的且④实对称矩阵A的正、负惯性指数分别为正、负特特征值的个数（重根按重数计）．n－秩(A)是0为A的特征值的重数.1．解析几何中主轴问题将上有心二次曲线或　上有心二次曲面通过坐标的旋转化成标准形，这个变换的矩阵是正交矩阵.四、实二次型的主轴

7、问题2．任意n元实二次型的正交线性替换化标准形1）正交线性替换如果线性替换X=CY的矩阵C是正交矩阵，则称之为正交线性替换.2）任一n元实二次型都可以通过正交的线性替换变成平方和其中平方项的系数　　为A的全部特征值．例2、在直角坐标系下，二次曲面的一般方程是（1）（2）则（1）式可以写成令对（2）中的　　　　　　有正交矩阵C（且　　）确定的坐标变换公式曲面（1）的方程化成这样由（2）知道经过由　　　　的坐标轴旋转，或其中这时，再按　　　是否为零，作适当的坐标轴的平移或旋转可以将曲面的方程化成标准方程．如当全不为零时，作平移曲面方

8、程（1）可以化为其中