高等数学课件D94几何应用

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1、第九章第四节微分学的几何应用一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面与法线2019-6-11高等数学课件复习目录上页下页返回结束一、空间曲线的切线与法平面空间光滑曲线在点M处的切线为此点处割线的极限位置.过点M与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面.T??M点击图中任意点动画开始或暂停2019-6-11高等数学课件机动目录上页下页返回结束1.曲线方程为参数方程的情况T??:x??(t),y??(t),z??(t)MM?设t?t0对应M(x0,y0,z0)t?t0??t对应M?(x0??x,y0??y,z0??z)割线MM?的方程:◆若平面光滑曲线方程为x??(t),y??(t)x?x0y?y0z?z0????dy?(t)x故在点?y?z因?(x0,y0)有切线方程dx??(?t)

2、t?t?t??上述方程?之(分t0)母(x同?除x0以)???(tt,0)令(y??ty?0)0?,0得x?xy?yz?z切线方程0?0?0????(t0)(t0)??(t0)2019-6-11高等数学课件机动目录上页下页返回结束此处要求??(t0),??(t0),??(t0)不全为0,?T如个别为0,则理解为分子为0.M?切线的方向向量:r(t)T?(??(t0),??(t0),??(t0))称为曲线的切向量.oT也是法平面的法向量,因此得法平面方程??(t0)(x?x0)???(t0)(y?y0)???(t0)(z?z0)?0说明:若引进向量函数r(t)?(?(t),?(t),?(t)),则?为的矢端曲线处的导向量r(t),而在t0r?(t0)?(??(t0),??(t0),?

3、?(t0))就是该点的切向量.2019-6-11高等数学课件机动目录上页下页返回结束例1.求圆柱螺旋线x?Rcos?,y?Rsin?,z?k?在???对应点处的切线方程和法平面方程.2解由于当???时:x???Rsin?,y??Rcos?,z??k,2,对应的切向量为??,故T(R,0,k)??M(0,R,k)xy?Rz?k02切线方程??2z?R0k?kx?Rz??Rk?0即?2?y?R?0法平面方程?????oRxk(z2k)0???2?xy即Rxkz2k02019-6-11高等数学课件机动目录上页下页返回结束?F(x看,y成,z)参?数02.曲线为一般式的情况方程组?G(x,y方,z)程?0?F(x,y,z)?0?光滑曲线?:?G(x,y,z)?0求导公式:?yx???x(x

4、)?(F,G)?dy1?(F,G)当J??0时,?可表示为??,则有?(y,z)?dzx??(Jx)?(z,x)曲线上一点处的切向量dz为1?(F,G)M(x0,y0,z0)?dxJ?(x,y)T??1,??(x0),??(x0)?dy1?(F,G)dz1?(F,G)将T扩大J倍由于?,?dxJ?(z,x)dxJ?(x,y)?1?(F,G)1?(F,G)?T??1,,??J?(z,x)MJ?(x,y)M?2019-6-11高等数学课件机动目录上页下页返回结束??(F,G)?(F,G)?(F,G)?得T??,,???(y,z)M?(z,x)M?(x,y)M?记忆小窍门x则在点有yM(x0,y0,z0)zx?xy?yz?z切线方程0?0?0?(F,G)?(F,G)?(F,G)?(y,z

5、)M?(z,x)M?(x,y)M??法平面方程(F,G)?(F,G)(xx0)?(y?y0)?(y,z)M?(z,x)M?(F,G)?(z?z0)?0?(x,y)M2019-6-11高等数学课件机动目录上页下页返回结束法平面方程?(F,G)?(F,G)(x?x)?(y?y)?(y,z)M0?(z,x)M0?(F,G)?(z?z)?0?M0也可表为(x,y)x?x0y?y0z?z0Fx(M)Fy(M)Fz(M)?0Gx(M)Gy(M)Gz(M)2019-6-11高等数学课件机动目录上页下页返回结束例2.求曲线x2?y2?z2?6,x?y?z?0在点M(1,–2,1)处的切线方程与法平面方程.解法1令F?x2?y2?z2,G?x?y?z,则?(F,G)2y2z??2(y?z)??6;?

6、(y,z)M11MM?(F,G)?(F,G)?0;?6x?(z,x)M?(x,y)Myz切向量T?(?6,0,6)?6(?1,0,1)x?1y?2z?1?x?z?2?0切线方程??即??101?y?2?02019-6-11高等数学课件机动目录上页下页返回结束法平面方程?1?(x?1)?0?(y?2)?1?(z?1)?0即x?z?0dydzy?z??x①解法方程组两边对求导得dxdx2.x,dydz???1②dxdx方程②乘-z加到方程①dy有(y?z)?z?xdx222例2.d求y曲线z?xx?yd?zzx??6y,x?y?z?0在点解得?,?M(1,–2d,x1)处y的?切z线方dx程与y法?平z面方程.2019-6-11高等数学课件机动目录上页下页返回结束曲线在点M(1,–2,

7、1)处有:切向量?z?xx?y???T??1,,?(1,0,1)?y?zMy?zM?x?1y?2z?1切线方程??10?1?x?z?2?0即??y?2?0法平面方程1?(x?1)?0?(y?2)?(?1)?(z?1)?0即x?z?02019-6-11高等数学课件机动目录上页下页返回结束二、曲面的切平面与法线设有光滑曲面?:F(x,y,z)?0通过其上定点任意引一条光滑曲线M(x0,y0,z0)???????对应点且:x(t),y(t),z(t),设t?t0M,??(t),??(t),??(t)不全为0.则?在000T点M的切向量为?T?(??(t0),??(t0),??(t0))Mx?xy?yz?z切线方程为0?0?0??(t0)??(t0)??(t0)下面证明:?上过点M的任何曲

8、线在该点的切线都在同一平面上.此平面称为?在该点的切平面.2019-6-11高等数学课件机动目录上页下页返回结束证:??:x??(t),y??(t),z??(t)在?上,T?F(?(t),?(t),?(t))?0n?注意对应点M两边在t?t0处求导,t?t0M,得Fx(x0,y0,z0)??(t0)?Fy(x0,y0,z0)??(t0)?Fz(x0,y0,z0)??(t0)?0令T?(??(t0),??(t0),??(t0))n?(Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0))T?n?0切向量T?n由于曲线?的任意性,表明这些切线都在以n为法向量的平面上,从而切平面存在.2019-6-11高等数学课件机动目录上页下页返回结束曲面?在点M的法向量n?(

9、Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0))切平面方程Fx(x0,y0,z0)(x?x0)?Fy(x0,y0,z0)(y?y0)?Fz(x0,y0,z0)(z?z0)?0法◆线若方平程面光滑曲线方程为F(x,y)?0,x?xy?yz?z0?0?0dyFx(x,y)故在点因Fx?(x?0,y0,z0)Fy(x0(,xy00,,yz00))有切F线z(x方0,程y0,z0)dxFy(x,y)TFx(x0,y0)(xn?x0)?F?y(x0,y0)(y?y0)?0M2019-6-11高等数学课件复习目录上页下页返回结束特别,当光滑曲面?的方程为显式z?f(x,y)时,令F(x,y,z)?f(x,y)?z则在点(x,y,z),Fx?fx,Fy?fy,Fz?

10、?1故当函数在点有连续偏导数时曲面f(x,y)(x0,y0),?在点(x0,y0,z0)有切平面方程z?z0?fx(x0,y0)(x?x0)?fy(x0,y0)(y?y0)x?xy?yz?z法线方程0?0?0fx(x0,y0)fy(x0,y0)?1请注意和全微分的关系哦!2019-6-11高等数学课件机动目录上页下页返回结束用?,?,?表示法向量的方向角,并假定法向量方向向上,则?为锐角.法向量n?(?fx(x0,y0),?fy(x0,y0),1)将fx(x0,y0),fy(x0,y0)分别记为fx,fy,则法向量的方向余弦:?f?fcos??x,cos??y,22221?fx?fy1?fx?fy1cos??.221?fx?fy2019-6-11高等数学课件复习目录上页下页返回结束

11、例3.求椭球面x2?2y2?3z2?36在点(1,2,3)处的切平面及法线方程.解:令F(x,y,z)?x2?2y2?3z2?36法向量n?(2x,4y,6z)?n(1,2,3)(2,8,18)所以球面在点(1,2,3)处有:切平面方程2(x?1)?8(y?2)?18(z?3)?0即x?4y?9z?36?0x?1y?2z?3法线方程??1492019-6-11高等数学课件机动目录上页下页返回结束例4.确定正数?使曲面xyz??与球面x2?y2?z22相切?a在点M(x0,y0,z0).解:二曲面在M点的法向量分别为?n1(y0z0,x0z0,x0y0),n2?(x0,y0,z0)二曲面在点相切故因此有M,n1//n2,xyzxyzxyz000?000?000222x0y0z0222

12、?x0?y0?z0a2又点M在球面上,故x2?y2?z2?0003a3于是有??xyz?000332019-6-11高等数学课件机动目录上页下页返回结束内容小结1.空间曲线的切线与法平面x??(t)??1)参数式情况.空间光滑曲线?:?y??(t)??z??(t)切向量T?(??(t0),??(t0),??(t0))x?xy?yz?z切线方程0?0?0??(t0)??(t0)??(t0)法平面方程??(t0)(x?x0)???(t0)(y?y0)???(t0)(z?z0)?02019-6-11高等数学课件机动目录上页下页返回结束?F(x,y,z)?02)一般式情况.空间光滑曲线?:??G(x,y,z)?0??(F,G)?(F,G)?(F,G)?切向量T??,,???(y,z)M?(

13、z,x)M?(x,y)M?x?xy?yz?z切线方程0?0?0?(F,G)?(F,G)?(F,G)?(y,z)M?(z,x)M?(x,y)M?(F,G)?(F,G)法平面方程?(x?x0)(y?y0)?(y,z)M?(z,x)M?(F,G)?(z?z0)?0?(x,y)M2019-6-11高等数学课件机动目录上页下页返回结束2.曲面的切平面与法线1)隐式情况.空间光滑曲面?:F(x,y,z)?0的法向量曲面?在点M(x0,y0,z0)n?(Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0))切平面方程Fx(x0,y0,z0)(x?x0)?Fy(x0,y0,z0)(y?y0)?Fz(x0,y0,z0)(z?z0)?0法线方程x?xy?yz?z0?0?0Fx(

14、x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)2019-6-11高等数学课件机动目录上页下页返回结束2)显式情况.空间光滑曲面?:z?f(x,y)法向量n?(?fx,?fy,1)法线的方向余弦?f?fcos??x,cos??y,22221?fx?fy1?fx?fy1cos??221?fx?fy切平面方程z?z0?fx(x0,y0)(x?x0)?fy(x0,y0)(y?y0)x?xy?yz?z法线方程0?0?0fx(x0,y0)fy(x0,y0)?12019-6-11高等数学课件机动目录上页下页返回结束思考与练习1.如果平面3x??y?3z?16?0与椭球面3x2?y2?z2?16相切,求?.提示设切点为:M(x0,y0,z0),则6x2y2z0?0?0(二法向量

15、平行)3??3切点在平面上3x0??y0?3z0?16?0()222切点在椭球面上3x0?y0?z0?16()???22019-6-11高等数学课件机动目录上页下页返回结束y2.设f(u)可微,证明曲面z?xf()上任一点处的x切平面都通过原点.提示在曲面上任意取一点则通过此:M(x0,y0,z0),点的切平面为?z?zz?z0?(x?x0)?(y?y0)?xM?yM证明原点坐标满足上述方程.2019-6-11高等数学课件第七节目录上页下页返回结束练习题1.证明曲面F(x?my,z?ny)?0的所有切平面恒与定直线平行,其中F(u,v)可微.证:曲面上任一点的法向量n?(F1?,F1??(?m)?F2??(?n),F2?)取定直线的方向向量为l?(m,1,n)(定向量)则l?n?0

16、,故结论成立.2019-6-11高等数学课件机动目录上页下页返回结束?x2?y2?z2?3x?02.求曲线?在点(1,1,1)的切线?2x?3y?5z?4?0与法平面.解:点(1,1,1)处两曲面的法向量为n1?(2x?3,2y,2z)(1,1,1)?(?1,2,2)n2?(2,?3,5)因此切线的方向向量为l?n1?n2?(16,9,?1)x?1y?1z?1由此得切线:??169?1法平面:16(x?1)?9(y?1)?(z?1)?0即16x?9y?z?24?02019-6-11高等数学课件机动目录上页下页返回结束第九章第四节微分学的几何应用一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面与法线2019-6-11高等数学课件复习目录上页下页返回结束一、空间曲线的切线与法平面空间光滑曲线

17、在点M处的切线为此点处割线的极限位置.过点M与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面.T??M点击图中任意点动画开始或暂停2019-6-11高等数学课件机动目录上页下页返回结束1.曲线方程为参数方程的情况

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