连续随机变量及其数字特征

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1、回顾过去学习过的离散型随机变量如果随机变量可能取的值为有限个或可列无穷多个，这种类型的随机变量就称为离散型随机变量。这组概率值反映了离散型随机变量的本质。称为的概率分布。设离散型随机变量的一切可能取值为：对应的概率值为：离散型随机变量的概率分布必须满足反之，如果一组数满足这两条性质，都可以作为某个离散型随机变量的概率分布。离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布也可表示为：定义离散型随机变量的概率分布为如果级数对应的极限存在，则称级数对应的极限为的数学期望或均值，即离散型随机变量的数学期望定义离散型随机变量的概率分布为如果级数对应的极限存在，

2、则称此极限为的方差，即并称为的标准差。离散型随机变量的方差离散型随机变量的方差计算公式一、随机变量---随机现象的函数化相对于随机试验的实际结果，我们对试验结果的某些函数更感兴趣。因此我们要把随机试验的结果数理化，即把试验结果与实数联系起来，建立起所谓的随机变量，即数值随着随机试验结果的不同而取各种不同值的变量。定义：对于随机实验结果中的任何一个结果，都有唯一的实数与之对应，则称为随机变量。引入随机变量，随机事件可以通过随机变量来表示！引入随机变量的最大好处是建立了随机现象与实数之间的桥梁，使我们能够利用数学工具来处理数理统计的问题。根据随机变量的取

3、值情况，随机变量分为两类：离散型随机变量与非离散型随机变量。非离散型随机变量的范围很广，但其中最重要的也是实际中常遇到的是连续型随机变量。（3）随机变量随着试验结果而取不同的数值，在试验前只知道它可能的取值范围和相应的概率，而不能预知它到底取什么数值。（2）随机变量的各个取值都有一定的概率。（1）普通函数定义在实数轴上，而随机变量则定义在样本空间（事件）上，样本空间上的元素（事件）不一定是实数。二、随机变量与普通函数的区别三、连续型随机变量的概率密度定义：对于随机变量，如果存在非负可积函数，使得在任一区间取值的概率为：则称为连续型随机变量，并称为的概

4、率密度。从定义看，对于连续型随机变量，由于其取值不是集中在有限个点上，所以考察其取值于某一点的概率意义不大。连续型随机变量在一点的概率实际上是该变量在无穷小区间上的概率，也是无穷小，在极限的意义下，此概率为零。因此:概率为零的事件不一定是不可能事件！概率密度具有两条重要性质：反之，如果某个函数满足这两条性质，则该函数可以作为某个连续型随机变量的概率密度。例：已知连续型随机变量的概率密度为求：（1）；（2）。解：所以（1）均匀分布例如：公共汽车每15分钟一班，则乘客的候车时间服从参数为0，15的均匀分布U（0，15）四、常见连续型随机变量的概率密度设随

5、机变量的概率密度为钟型曲线函数则称服从参数为的正态分布，记为实际生活中大量的随机变量都服从或近似服从正态分布。（2）正态分布特别地，称的正态分布为标准正态分布，其密度函数为：可以证明：利用这个结果，通过变量替换，可以证明：标准正态分布示意图密度函数累积分布函数正态分布最常用，可以通过查表求得累积正态分布函数的值：注意：累积分布函数的二条重要性质：1、2、经验表明：随机变量如果受大量微小的、独立的随机因素的影响时，可看作这些随机因素作用叠加的总和，这样的随机变量近似服从正态分布。这种现象的理论解释是独立同分布中心极限定理。定义：对于随机变量，称函数为随

6、机变量的累积分布函数五、累积分布函数累积分布函数具有下列基本性质：（4）连续型随机变量的累积分布函数因此即：累积分布函数的导数等于密度函数因为例：已知连续型随机变量的概率密度为求：的累积分布函数及、解：随机变量的分布函数、概率密度能全面、完整地描述随机变量的概率性质和分布情况，但比较烦琐、复杂，不易看出分布的主要特征，也不便于进行随机变量之间的比较。在许多实际问题中，我们只需要知道随机变量的主要数字特征（数学期望，方差），并不需要详细了解可能难以确定的随机变量的分布情况。六、随机变量的数字特征随机变量的数字特征不仅在一定程度上可以简单刻划出随机变量的

7、基本性态，而且可以用数理统计的方法估计出它们。因此对它们的研究在理论上、实际上都有重要意义。1、从加权平均谈起一门课程，平时成绩p占30%，期末成绩m占70%，某生平时得90分，期末得82分，则该生该课程的总成绩z为平时成绩p和期末成绩m的加权平均，即数学期望—数据的集中程度一般地，一组数据在一组权重下的加权平均为：定义：连续型随机变量的概率密度为，如果广义积分存在，则称广义积分为的数学期望或均值，即:2、连续型随机变量的数学期望例：已知连续型随机变量的概率密度为求：解：正态分布3、正态分布的数学期望4、数学期望的性质设连续型随机变量的概率密度函数为

8、，而为连续函数或分段连续函数。如果广义积分存在，则称此广义积分为对应的函数的数学期望或均值，即：5、随机变量